Լուծեք (2x+5)^2-9=0

$$( 2 x + 5 ) ^ { 2 } - 9 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-1$$

$$x=-4$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+5\right)^{2}:

$$4x^{2}+20x+25-9=0$$

Հանեք 9 25-ից և ստացեք 16:

$$4x^{2}+20x+16=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x^{2}+5x+4=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx+4։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=5 ab=1\times 4=4$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 4 է։

$$1,4 2,2$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+4=5 2+2=4$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 5 գումար։

$$a=1 b=4$$

Նորից գրեք x^{2}+5x+4-ը \left(x^{2}+x\right)+\left(4x+4\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}+x\right)+\left(4x+4\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 4-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x+1\right)+4\left(x+1\right)$$

Ֆակտորացրեք x+1 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x+1\right)\left(x+4\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x+1=0-ն և x+4=0-ն։

$$x=-1 x=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+5\right)^{2}:

$$4x^{2}+20x+25-9=0$$

Հանեք 9 25-ից և ստացեք 16:

$$4x^{2}+20x+16=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, 20-ը b-ով և 16-ը c-ով:

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

20-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-16\times 16}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ 16:

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-256}}{2\times 4}$$

Գումարեք 400 -256-ին:

$$x=\frac{-20±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Հանեք 144-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-20±12}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{-20±12}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-20±12}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -20 12-ին:

$$x=-\frac{8}{8}$$

Բաժանեք -8-ը 8-ի վրա:

$$x=-1$$

Այժմ լուծել x=\frac{-20±12}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 12 -20-ից:

$$x=-\frac{32}{8}$$

Բաժանեք -32-ը 8-ի վրա:

$$x=-4$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=-1 x=-4$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+5\right)^{2}:

$$4x^{2}+20x+25-9=0$$

Հանեք 9 25-ից և ստացեք 16:

$$4x^{2}+20x+16=0$$

Հանեք 16 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$4x^{2}+20x=-16$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}+20x}{4}=-\frac{16}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{20}{4}x=-\frac{16}{4}$$

Բաժանեք 20-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}+5x=-\frac{16}{4}$$

Բաժանեք -16-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}+5x=-4$$

Բաժանեք 5-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{5}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{5}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{5}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Գումարեք -4 \frac{25}{4}-ին:

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Գործոն x^{2}+5x+\frac{25}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{5}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Հանեք \frac{5}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=-1 x=-4$$