Լուծեք (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Լուծել x-ի համար

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2.195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2.195955879$$

$$x=1$$

Լուծման քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+4\right)^{2}:

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(3x-2\right)^{2}:

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

9x^{2}-12x+4-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Համակցեք -9x^{2} և -40x^{2} և ստացեք -49x^{2}:

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Հավելել 205-ը երկու կողմերում:

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Գումարեք -4 և 205 և ստացեք 201:

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -5x 7-3x-ով բազմապատկելու համար:

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -35x+15x^{2}-ը 7+3x-ով բազմապատկելու և նման պայմանները համակցելու համար:

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Համակցեք 16x և -245x և ստացեք -229x:

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Համակցեք 4x^{2} և -49x^{2} և ստացեք -45x^{2}:

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Համակցեք -229x և 12x և ստացեք -217x:

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Գումարեք 16 և 201 և ստացեք 217:

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Վերադասավորեք հավասարումը՝ բերելով այն ստանդարտ ձևի: Դասավորեք անդամները բարձրից ցածր:

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Ըստ Ռացիոնալ արմատի թեորեմի՝ բազմանդամի բոլոր ռացիոնալ արմատները \frac{p}{q} տեսքով են, որտեղ p բաժանում է 217 հաստատուն անդամը, իսկ q բաժանում է 45 առաջատար գործակիցը: Նշել բոլոր թեկնածուները \frac{p}{q}:

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Գտեք մեկ արմատ՝ փորձելով բոլոր ամբողջ թվով արժեքները, սկսած ամենափոքրից մինչև բացարձակ արժեք: Եթե ոչ մի ամբողջ թվով արմատ չգտնվի, փորձեք կոտորակները:

$$x=1$$

Ըստ Բազմապատիկի թեորեմի՝ x-k-ը բազմանդամի բազմապատիկն է յուրաքանչյուր k արմատի համար: Բաժանեք 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 x-1-ի և ստացեք 45x^{2}-217: Լուծեք հավասարումը, որտեղ արդյունքը հավասարվում է 0:

$$45x^{2}-217=0$$

Հետևյալ ձևի բոլոր հավասարումները՝ ax^{2}+bx+c=0 կարող են լուծվել քառ. հավ. արմ. բանաձևի միջոցով՝ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 45-ը a-ով, 0-ը b-ով և -217-ը c-ով:

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Կատարեք հաշվարկումներ:

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Լուծեք 45x^{2}-217=0 հավասարումը, երբ ±-ը գումարած է և երբ ±-ը հանած է:

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Թվարկեք բոլոր գտնված լուծումները:

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$