Լուծեք (2x+1)^2=1+(x-1)(x+1)

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 1 + ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=-1$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+1\right)^{2}:

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Դիտարկեք \left(x-1\right)\left(x+1\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}: 1-ի քառակուսի:

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Հանեք 1 1-ից և ստացեք 0:

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Համակցեք 4x^{2} և -x^{2} և ստացեք 3x^{2}:

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 3x^{2}+ax+bx+1։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Միակ նման զույգը համակարգի լուծումն է։

$$a=1 b=3$$

Նորից գրեք 3x^{2}+4x+1-ը \left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)-ի տեսքով:

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

Ֆակտորացրեք x-ը 3x^{2}+x-ում։

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Ֆակտորացրեք 3x+1 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 3x+1=0-ն և x+1=0-ն։

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+1\right)^{2}:

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Դիտարկեք \left(x-1\right)\left(x+1\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}: 1-ի քառակուսի:

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Հանեք 1 1-ից և ստացեք 0:

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Համակցեք 4x^{2} և -x^{2} և ստացեք 3x^{2}:

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 3-ը a-ով, 4-ը b-ով և 1-ը c-ով:

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

4-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 3:

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Գումարեք 16 -12-ին:

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Հանեք 4-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 3:

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-4±2}{6} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -4 2-ին:

$$x=-\frac{2}{6}$$

Նվազեցնել \frac{-2}{6} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x=-\frac{1}{3}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-4±2}{6} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2 -4-ից:

$$x=-\frac{6}{6}$$

Բաժանեք -6-ը 6-ի վրա:

$$x=-1$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+1\right)^{2}:

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Դիտարկեք \left(x-1\right)\left(x+1\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}: 1-ի քառակուսի:

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Հանեք 1 1-ից և ստացեք 0:

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Համակցեք 4x^{2} և -x^{2} և ստացեք 3x^{2}:

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Հանեք 1 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$3x^{2}+4x=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Բաժանելով 3-ի՝ հետարկվում է 3-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Բաժանեք \frac{4}{3}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{2}{3}-ը: Ապա գումարեք \frac{2}{3}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{2}{3}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Գումարեք -\frac{1}{3} \frac{4}{9}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Գործոն x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Հանեք \frac{2}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$