Լուծեք y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Լուծել y-ի համար

$$y=6$$

$$y=9$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավելել 54-ը երկու կողմերում:

$$y^{2}-15y+54=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք y^{2}-15y+54-ը՝ օգտագործելով y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-15 ab=54$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 54 է։

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -15 գումար։

$$a=-9 b=-6$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(y+a\right)\left(y+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք y-9=0-ն և y-6=0-ն։

$$y=9 y=6$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավելել 54-ը երկու կողմերում:

$$y^{2}-15y+54=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ y^{2}+ay+by+54։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 54 է։

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -15 գումար։

$$a=-9 b=-6$$

Նորից գրեք y^{2}-15y+54-ը \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)-ի տեսքով:

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Դուրս բերել y-ը առաջին իսկ -6-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Ֆակտորացրեք y-9 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք y-9=0-ն և y-6=0-ն։

$$y=9 y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$y^{2}-15y=-54$$

Գումարեք 54 հավասարման երկու կողմին:

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Հանելով -54 իրենից՝ մնում է 0:

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Հանեք -54 0-ից:

$$y^{2}-15y+54=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, -15-ը b-ով և 54-ը c-ով:

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

-15-ի քառակուսի:

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 54:

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Գումարեք 225 -216-ին:

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Հանեք 9-ի քառակուսի արմատը:

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

-15 թվի հակադրությունը 15 է:

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Այժմ լուծել y=\frac{15±3}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 15 3-ին:

$$y=\frac{18}{2}$$

Բաժանեք 18-ը 2-ի վրա:

$$y=9$$

Այժմ լուծել y=\frac{15±3}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 3 15-ից:

$$y=\frac{12}{2}$$

Բաժանեք 12-ը 2-ի վրա:

$$y=6$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$y=9 y=6$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$y^{2}-15y=-54$$

Բաժանեք -15-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{15}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{15}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{15}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Գումարեք -54 \frac{225}{4}-ին:

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Գործոն y^{2}-15y+\frac{225}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Գումարեք \frac{15}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$y=9 y=6$$