Լուծեք x^4-18x^2+81

$${ x }^{ 4 } -18 { x }^{ 2 } +81$$

Բազմապատիկ

$$\left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2}$$

Լուծման քայլերը

Արտահայտության բազմապատիկը գտնելու համար լուծեք հավասարումը, որտեղ արտահայտությունը հավասարվում է 0:

$$x^{4}-18x^{2}+81=0$$

Ըստ Ռացիոնալ արմատի թեորեմի՝ բազմանդամի բոլոր ռացիոնալ արմատները \frac{p}{q} տեսքով են, որտեղ p բաժանում է 81 հաստատուն անդամը, իսկ q բաժանում է 1 առաջատար գործակիցը: Նշել բոլոր թեկնածուները \frac{p}{q}:

$$±81,±27,±9,±3,±1$$

Գտեք մեկ արմատ՝ փորձելով բոլոր ամբողջ թվով արժեքները, սկսած ամենափոքրից մինչև բացարձակ արժեք: Եթե ոչ մի ամբողջ թվով արմատ չգտնվի, փորձեք կոտորակները:

$$x=3$$

Ըստ Բազմապատիկի թեորեմի՝ x-k-ը բազմանդամի բազմապատիկն է յուրաքանչյուր k արմատի համար: Բաժանեք x^{4}-18x^{2}+81 x-3-ի և ստացեք x^{3}+3x^{2}-9x-27: Արտահայտության բազմապատիկը գտնելու համար լուծեք հավասարումը, որտեղ արտահայտությունը հավասարվում է 0:

$$x^{3}+3x^{2}-9x-27=0$$

Ըստ Ռացիոնալ արմատի թեորեմի՝ բազմանդամի բոլոր ռացիոնալ արմատները \frac{p}{q} տեսքով են, որտեղ p բաժանում է -27 հաստատուն անդամը, իսկ q բաժանում է 1 առաջատար գործակիցը: Նշել բոլոր թեկնածուները \frac{p}{q}:

$$±27,±9,±3,±1$$

Գտեք մեկ արմատ՝ փորձելով բոլոր ամբողջ թվով արժեքները, սկսած ամենափոքրից մինչև բացարձակ արժեք: Եթե ոչ մի ամբողջ թվով արմատ չգտնվի, փորձեք կոտորակները:

$$x=3$$

Ըստ Բազմապատիկի թեորեմի՝ x-k-ը բազմանդամի բազմապատիկն է յուրաքանչյուր k արմատի համար: Բաժանեք x^{3}+3x^{2}-9x-27 x-3-ի և ստացեք x^{2}+6x+9: Արտահայտության բազմապատիկը գտնելու համար լուծեք հավասարումը, որտեղ արտահայտությունը հավասարվում է 0:

$$x^{2}+6x+9=0$$

Հետևյալ ձևի բոլոր հավասարումները՝ ax^{2}+bx+c=0 կարող են լուծվել քառ. հավ. արմ. բանաձևի միջոցով՝ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, 6-ը b-ով և 9-ը c-ով:

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 1\times 9}}{2}$$

Կատարեք հաշվարկումներ:

$$x=\frac{-6±0}{2}$$

Լուծումները նույնն են:

$$x=-3$$

Վերագրեք բազմապատիկը ստացած արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արմատները:

$$\left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2}$$

Գնահատել

$$\left(x^{2}-9\right)^{2}$$