Լուծեք x^2-21x+104=0

$${ x }^{ 2 } -21x+104=0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=8$$

$$x=13$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք x^{2}-21x+104-ը՝ օգտագործելով x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-21 ab=104$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 104 է։

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -21 գումար։

$$a=-13 b=-8$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(x+a\right)\left(x+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-13=0-ն և x-8=0-ն։

$$x=13 x=8$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx+104։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-21 ab=1\times 104=104$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 104 է։

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -21 գումար։

$$a=-13 b=-8$$

Նորից գրեք x^{2}-21x+104-ը \left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ -8-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x-13\right)-8\left(x-13\right)$$

Ֆակտորացրեք x-13 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-13=0-ն և x-8=0-ն։

$$x=13 x=8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}-21x+104=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, -21-ը b-ով և 104-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 104}}{2}$$

-21-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 104}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 104:

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-416}}{2}$$

Գումարեք 441 -416-ին:

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Հանեք 25-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-21\right)±5}{2}$$

-21 թվի հակադրությունը 21 է:

$$x=\frac{21±5}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{21±5}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 21 5-ին:

$$x=\frac{26}{2}$$

Բաժանեք 26-ը 2-ի վրա:

$$x=13$$

Այժմ լուծել x=\frac{21±5}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 5 21-ից:

$$x=\frac{16}{2}$$

Բաժանեք 16-ը 2-ի վրա:

$$x=8$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=13 x=8$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}-21x+104=0$$

Հանեք 104 հավասարման երկու կողմից:

$$x^{2}-21x+104-104=-104$$

Հանելով 104 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}-21x=-104$$

Բաժանեք -21-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{21}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{21}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-104+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{21}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-104+\frac{441}{4}$$

Գումարեք -104 \frac{441}{4}-ին:

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{25}{4}$$

Գործոն x^{2}-21x+\frac{441}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{21}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{5}{2}$$

Գումարեք \frac{21}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=13 x=8$$