Լուծեք x^2-14x+65=25

$${ x }^{ 2 } -14x+65=25$$

Լուծել x-ի համար

$$x=4$$

$$x=10$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 25 երկու կողմերից:

$$x^{2}-14x+65-25=0$$

Հանեք 25 65-ից և ստացեք 40:

$$x^{2}-14x+40=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք x^{2}-14x+40-ը՝ օգտագործելով x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-14 ab=40$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 40 է։

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -14 գումար։

$$a=-10 b=-4$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(x+a\right)\left(x+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(x-10\right)\left(x-4\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-10=0-ն և x-4=0-ն։

$$x=10 x=4$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 25 երկու կողմերից:

$$x^{2}-14x+65-25=0$$

Հանեք 25 65-ից և ստացեք 40:

$$x^{2}-14x+40=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx+40։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-14 ab=1\times 40=40$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 40 է։

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -14 գումար։

$$a=-10 b=-4$$

Նորից գրեք x^{2}-14x+40-ը \left(x^{2}-10x\right)+\left(-4x+40\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(-4x+40\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ -4-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x-10\right)-4\left(x-10\right)$$

Ֆակտորացրեք x-10 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-10\right)\left(x-4\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-10=0-ն և x-4=0-ն։

$$x=10 x=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}-14x+65=25$$

Հանեք 25 հավասարման երկու կողմից:

$$x^{2}-14x+65-25=25-25$$

Հանելով 25 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}-14x+65-25=0$$

Հանեք 25 65-ից:

$$x^{2}-14x+40=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, -14-ը b-ով և 40-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2}$$

-14-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 40:

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2}$$

Գումարեք 196 -160-ին:

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2}$$

Հանեք 36-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2}$$

-14 թվի հակադրությունը 14 է:

$$x=\frac{14±6}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{14±6}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 14 6-ին:

$$x=\frac{20}{2}$$

Բաժանեք 20-ը 2-ի վրա:

$$x=10$$

Այժմ լուծել x=\frac{14±6}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 6 14-ից:

$$x=\frac{8}{2}$$

Բաժանեք 8-ը 2-ի վրա:

$$x=4$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=10 x=4$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}-14x+65=25$$

Հանեք 65 հավասարման երկու կողմից:

$$x^{2}-14x+65-65=25-65$$

Հանելով 65 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}-14x=25-65$$

Հանեք 65 25-ից:

$$x^{2}-14x=-40$$

Բաժանեք -14-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -7-ը: Ապա գումարեք -7-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

-7-ի քառակուսի:

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

Գումարեք -40 49-ին:

$$x^{2}-14x+49=9$$

Գործոն x^{2}-14x+49: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Պարզեցնել:

$$x-7=3 x-7=-3$$

Գումարեք 7 հավասարման երկու կողմին:

$$x=10 x=4$$