Լուծեք x^2+25x+100=0

$${ x }^{ 2 } +25x+100=0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-20$$

$$x=-5$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք x^{2}+25x+100-ը՝ օգտագործելով x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=25 ab=100$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 100 է։

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 25 գումար։

$$a=5 b=20$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(x+a\right)\left(x+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x+5=0-ն և x+20=0-ն։

$$x=-5 x=-20$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx+100։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=25 ab=1\times 100=100$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 100 է։

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 25 գումար։

$$a=5 b=20$$

Նորից գրեք x^{2}+25x+100-ը \left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 20-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x+5\right)+20\left(x+5\right)$$

Ֆակտորացրեք x+5 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x+5=0-ն և x+20=0-ն։

$$x=-5 x=-20$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}+25x+100=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, 25-ը b-ով և 100-ը c-ով:

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 100}}{2}$$

25-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 100}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 100:

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-400}}{2}$$

Գումարեք 625 -400-ին:

$$x=\frac{-25±\sqrt{225}}{2}$$

Հանեք 225-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-25±15}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-25±15}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -25 15-ին:

$$x=-\frac{10}{2}$$

Բաժանեք -10-ը 2-ի վրա:

$$x=-5$$

Այժմ լուծել x=\frac{-25±15}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 15 -25-ից:

$$x=-\frac{40}{2}$$

Բաժանեք -40-ը 2-ի վրա:

$$x=-20$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=-5 x=-20$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}+25x+100=0$$

Հանեք 100 հավասարման երկու կողմից:

$$x^{2}+25x+100-100=-100$$

Հանելով 100 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}+25x=-100$$

Բաժանեք 25-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{25}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{25}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-100+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{25}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-100+\frac{625}{4}$$

Գումարեք -100 \frac{625}{4}-ին:

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{225}{4}$$

Գործոն x^{2}+25x+\frac{625}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{25}{2}=\frac{15}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{15}{2}$$

Հանեք \frac{25}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=-5 x=-20$$