Լուծեք x^2+21x+90=0

$${ x }^{ 2 } +21x+90 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-15$$

$$x=-6$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք x^{2}+21x+90-ը՝ օգտագործելով x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=21 ab=90$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 90 է։

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 21 գումար։

$$a=6 b=15$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(x+a\right)\left(x+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(x+6\right)\left(x+15\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x+6=0-ն և x+15=0-ն։

$$x=-6 x=-15$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx+90։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=21 ab=1\times 90=90$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 90 է։

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 21 գումար։

$$a=6 b=15$$

Նորից գրեք x^{2}+21x+90-ը \left(x^{2}+6x\right)+\left(15x+90\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}+6x\right)+\left(15x+90\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 15-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x+6\right)+15\left(x+6\right)$$

Ֆակտորացրեք x+6 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x+6\right)\left(x+15\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x+6=0-ն և x+15=0-ն։

$$x=-6 x=-15$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}+21x+90=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, 21-ը b-ով և 90-ը c-ով:

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 90}}{2}$$

21-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 90}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 90:

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2}$$

Գումարեք 441 -360-ին:

$$x=\frac{-21±\sqrt{81}}{2}$$

Հանեք 81-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-21±9}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-21±9}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -21 9-ին:

$$x=-\frac{12}{2}$$

Բաժանեք -12-ը 2-ի վրա:

$$x=-6$$

Այժմ լուծել x=\frac{-21±9}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 9 -21-ից:

$$x=-\frac{30}{2}$$

Բաժանեք -30-ը 2-ի վրա:

$$x=-15$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=-6 x=-15$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}+21x+90=0$$

Հանեք 90 հավասարման երկու կողմից:

$$x^{2}+21x+90-90=-90$$

Հանելով 90 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}+21x=-90$$

Բաժանեք 21-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{21}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{21}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+21x+\left(\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{21}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+21x+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

Գումարեք -90 \frac{441}{4}-ին:

$$x^{2}+21x+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

Գործոն x^{2}+21x+\frac{441}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{21}{2}=\frac{9}{2} x+\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

Հանեք \frac{21}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=-6 x=-15$$