Լուծեք {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Գնահատել

$$4\sqrt{3}+7\approx 13.92820323$$

Լուծման քայլերը

Ռացիոնալացրեք \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}-ի հայտարարը՝ համարիչը և հայտարարը բազմապատկելով \sqrt{3}+1-ով:

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Դիտարկեք \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}:

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{3}-ի քառակուսի: 1-ի քառակուսի:

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Հանեք 1 3-ից և ստացեք 2:

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Բազմապատկեք \sqrt{3}+1 և \sqrt{3}+1-ով և ստացեք \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}:

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}:

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

\sqrt{3} թվի քառակուսին 3 է:

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Գումարեք 3 և 1 և ստացեք 4:

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Բաժանեք 4+2\sqrt{3}-ի յուրաքանչյուր պարամետրը 2-ի և ստացեք 2+\sqrt{3}:

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}:

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

\sqrt{3} թվի քառակուսին 3 է:

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Գումարեք 4 և 3 և ստացեք 7:

$$7+4\sqrt{3}$$

Ընդարձակել

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13.92820323$$

Լուծման քայլերը

Ռացիոնալացրեք \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}-ի հայտարարը՝ համարիչը և հայտարարը բազմապատկելով \sqrt{3}+1-ով:

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Դիտարկեք \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}:

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{3}-ի քառակուսի: 1-ի քառակուսի:

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Հանեք 1 3-ից և ստացեք 2:

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Բազմապատկեք \sqrt{3}+1 և \sqrt{3}+1-ով և ստացեք \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}:

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}:

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

\sqrt{3} թվի քառակուսին 3 է:

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Գումարեք 3 և 1 և ստացեք 4:

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Բաժանեք 4+2\sqrt{3}-ի յուրաքանչյուր պարամետրը 2-ի և ստացեք 2+\sqrt{3}:

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}:

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

\sqrt{3} թվի քառակուսին 3 է:

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Գումարեք 4 և 3 և ստացեք 7:

$$7+4\sqrt{3}$$