Լուծեք sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

Լուծել x-ի համար

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2.618033989$$

Լուծման քայլերը

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{x} աստիճանը և ստացեք x:

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-1\right)^{2}:

$$x=x^{2}-2x+1$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$x-x^{2}+2x=1$$

Համակցեք x և 2x և ստացեք 3x:

$$3x-x^{2}=1$$

Հանեք 1 երկու կողմերից:

$$3x-x^{2}-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք -1-ը a-ով, 3-ը b-ով և -1-ը c-ով:

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

3-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -1:

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -1:

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Գումարեք 9 -4-ին:

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -1:

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -3 \sqrt{5}-ին:

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Բաժանեք -3+\sqrt{5}-ը -2-ի վրա:

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք \sqrt{5} -3-ից:

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Բաժանեք -3-\sqrt{5}-ը -2-ի վրա:

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Փոխարինեք \frac{3-\sqrt{5}}{2}-ը x-ով \sqrt{x}=x-1 հավասարման մեջ:

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Պարզեցնել: x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} արժեքը չի բավարարում հավասարմանը, քանի որ ձախ և աջ կողմերն ունեն հակադիր նշաններ։

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Փոխարինեք \frac{\sqrt{5}+3}{2}-ը x-ով \sqrt{x}=x-1 հավասարման մեջ:

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Պարզեցնել: x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

\sqrt{x}=x-1 հավասարումն ունի եզակի լուծում։

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$