Լուծեք sqrt{1-x}+sqrt{1+x}=sqrt{2}

$$\sqrt{ 1-x } + \sqrt{ 1+x } = \sqrt{ 2 }$$

Լուծել x-ի համար

$$x=1$$

$$x=-1$$

Լուծման քայլերը

Հանեք \sqrt{1+x} հավասարման երկու կողմից:

$$\sqrt{1-x}=\sqrt{2}-\sqrt{1+x}$$

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{1-x} աստիճանը և ստացեք 1-x:

$$1-x=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}:

$$1-x=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

\sqrt{2} թվի քառակուսին 2 է:

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{1+x} աստիճանը և ստացեք 1+x:

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+1+x$$

Գումարեք 2 և 1 և ստացեք 3:

$$1-x=3-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+x$$

Հանեք 3+x հավասարման երկու կողմից:

$$1-x-\left(3+x\right)=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

3+x-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$1-x-3-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Հանեք 3 1-ից և ստացեք -2:

$$-2-x-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Համակցեք -x և -x և ստացեք -2x:

$$-2-2x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(-2-2x\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(-2-2x\right)^{2}:

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Ընդարձակեք \left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}:

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի -2 աստիճանը և ստացեք 4:

$$4+8x+4x^{2}=4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

\sqrt{2} թվի քառակուսին 2 է:

$$4+8x+4x^{2}=4\times 2\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Բազմապատկեք 4 և 2-ով և ստացեք 8:

$$4+8x+4x^{2}=8\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{1+x} աստիճանը և ստացեք 1+x:

$$4+8x+4x^{2}=8\left(1+x\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 8 1+x-ով բազմապատկելու համար:

$$4+8x+4x^{2}=8+8x$$

Հանեք 8 երկու կողմերից:

$$4+8x+4x^{2}-8=8x$$

Հանեք 8 4-ից և ստացեք -4:

$$-4+8x+4x^{2}=8x$$

Հանեք 8x երկու կողմերից:

$$-4+8x+4x^{2}-8x=0$$

Համակցեք 8x և -8x և ստացեք 0:

$$-4+4x^{2}=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$-1+x^{2}=0$$

Դիտարկեք -1+x^{2}: Նորից գրեք -1+x^{2}-ը x^{2}-1^{2}-ի տեսքով: Քառակուսիների տարբերությունը կարող է ֆակտորացվել՝ օգտագործելով հետևյալ կանոնը՝ a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)։

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-1=0-ն և x+1=0-ն։

$$x=1 x=-1$$

Փոխարինեք 1-ը x-ով \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2} հավասարման մեջ:

$$\sqrt{1-1}+\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$

Պարզեցնել: x=1 արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Փոխարինեք -1-ը x-ով \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2} հավասարման մեջ:

$$\sqrt{1-\left(-1\right)}+\sqrt{1-1}=\sqrt{2}$$

Պարզեցնել: x=-1 արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

\sqrt{1-x}=-\sqrt{x+1}+\sqrt{2}-ի բոլոր լուծումների ցուցակը։

$$x=1 x=-1$$