Լուծեք sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Լուծել x-ի համար (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0.732050808$$

Լուծման քայլերը

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{x^{2}-1} աստիճանը և ստացեք x^{2}-1:

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{2x+1} աստիճանը և ստացեք 2x+1:

$$x^{2}-1=2x+1$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$x^{2}-1-2x=1$$

Հանեք 1 երկու կողմերից:

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Հանեք 1 -1-ից և ստացեք -2:

$$x^{2}-2-2x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}-2x-2=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, -2-ը b-ով և -2-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

-2-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -2:

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Գումարեք 4 8-ին:

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Հանեք 12-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

-2 թվի հակադրությունը 2 է:

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 2 2\sqrt{3}-ին:

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Բաժանեք 2+2\sqrt{3}-ը 2-ի վրա:

$$x=\sqrt{3}+1$$

Այժմ լուծել x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2\sqrt{3} 2-ից:

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Բաժանեք 2-2\sqrt{3}-ը 2-ի վրա:

$$x=1-\sqrt{3}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Փոխարինեք \sqrt{3}+1-ը x-ով \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} հավասարման մեջ:

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Պարզեցնել: x=\sqrt{3}+1 արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Փոխարինեք 1-\sqrt{3}-ը x-ով \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} հավասարման մեջ:

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Պարզեցնել: x=1-\sqrt{3} արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}-ի բոլոր լուծումների ցուցակը։

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Լուծել x-ի համար

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

Լուծման քայլերը

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{x^{2}-1} աստիճանը և ստացեք x^{2}-1:

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{2x+1} աստիճանը և ստացեք 2x+1:

$$x^{2}-1=2x+1$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$x^{2}-1-2x=1$$

Հանեք 1 երկու կողմերից:

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Հանեք 1 -1-ից և ստացեք -2:

$$x^{2}-2-2x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}-2x-2=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, -2-ը b-ով և -2-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

-2-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -2:

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Գումարեք 4 8-ին:

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Հանեք 12-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

-2 թվի հակադրությունը 2 է:

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 2 2\sqrt{3}-ին:

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Բաժանեք 2+2\sqrt{3}-ը 2-ի վրա:

$$x=\sqrt{3}+1$$

Այժմ լուծել x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2\sqrt{3} 2-ից:

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Բաժանեք 2-2\sqrt{3}-ը 2-ի վրա:

$$x=1-\sqrt{3}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Փոխարինեք \sqrt{3}+1-ը x-ով \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} հավասարման մեջ:

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Պարզեցնել: x=\sqrt{3}+1 արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Փոխարինեք 1-\sqrt{3}-ը x-ով \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} հավասարման մեջ: \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} արտահայտությունը սահմանված չէ, քանի որ հարարմատը չի կարող լինել բացասական։

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} հավասարումն ունի եզակի լուծում։

$$x=\sqrt{3}+1$$