Լուծեք sqrt{x+6}-sqrt{5x+1}+1=0

$$\sqrt { x + 6 } - \sqrt { 5 x + 1 } + 1 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=3$$

Լուծման քայլերը

Հանեք -\sqrt{5x+1}+1 հավասարման երկու կողմից:

$$\sqrt{x+6}=-\left(-\sqrt{5x+1}+1\right)$$

-\sqrt{5x+1}+1-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$\sqrt{x+6}=-\left(-\sqrt{5x+1}\right)-1$$

-\sqrt{5x+1} թվի հակադրությունը \sqrt{5x+1} է:

$$\sqrt{x+6}=\sqrt{5x+1}-1$$

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{5x+1}-1\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{x+6} աստիճանը և ստացեք x+6:

$$x+6=\left(\sqrt{5x+1}-1\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(\sqrt{5x+1}-1\right)^{2}:

$$x+6=\left(\sqrt{5x+1}\right)^{2}-2\sqrt{5x+1}+1$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{5x+1} աստիճանը և ստացեք 5x+1:

$$x+6=5x+1-2\sqrt{5x+1}+1$$

Գումարեք 1 և 1 և ստացեք 2:

$$x+6=5x+2-2\sqrt{5x+1}$$

Հանեք 5x+2 հավասարման երկու կողմից:

$$x+6-\left(5x+2\right)=-2\sqrt{5x+1}$$

5x+2-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$x+6-5x-2=-2\sqrt{5x+1}$$

Համակցեք x և -5x և ստացեք -4x:

$$-4x+6-2=-2\sqrt{5x+1}$$

Հանեք 2 6-ից և ստացեք 4:

$$-4x+4=-2\sqrt{5x+1}$$

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(-4x+4\right)^{2}=\left(-2\sqrt{5x+1}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(-4x+4\right)^{2}:

$$16x^{2}-32x+16=\left(-2\sqrt{5x+1}\right)^{2}$$

Ընդարձակեք \left(-2\sqrt{5x+1}\right)^{2}:

$$16x^{2}-32x+16=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x+1}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի -2 աստիճանը և ստացեք 4:

$$16x^{2}-32x+16=4\left(\sqrt{5x+1}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{5x+1} աստիճանը և ստացեք 5x+1:

$$16x^{2}-32x+16=4\left(5x+1\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 5x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$16x^{2}-32x+16=20x+4$$

Հանեք 20x երկու կողմերից:

$$16x^{2}-32x+16-20x=4$$

Համակցեք -32x և -20x և ստացեք -52x:

$$16x^{2}-52x+16=4$$

Հանեք 4 երկու կողմերից:

$$16x^{2}-52x+16-4=0$$

Հանեք 4 16-ից և ստացեք 12:

$$16x^{2}-52x+12=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$4x^{2}-13x+3=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 4x^{2}+ax+bx+3։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-13 ab=4\times 3=12$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 12 է։

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -13 գումար։

$$a=-12 b=-1$$

Նորից գրեք 4x^{2}-13x+3-ը \left(4x^{2}-12x\right)+\left(-x+3\right)-ի տեսքով:

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(-x+3\right)$$

Դուրս բերել 4x-ը առաջին իսկ -1-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$4x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Ֆակտորացրեք x-3 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-3\right)\left(4x-1\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-3=0-ն և 4x-1=0-ն։

$$x=3 x=\frac{1}{4}$$

Փոխարինեք 3-ը x-ով \sqrt{x+6}-\sqrt{5x+1}+1=0 հավասարման մեջ:

$$\sqrt{3+6}-\sqrt{5\times 3+1}+1=0$$

Պարզեցնել: x=3 արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$0=0$$

Փոխարինեք \frac{1}{4}-ը x-ով \sqrt{x+6}-\sqrt{5x+1}+1=0 հավասարման մեջ:

$$\sqrt{\frac{1}{4}+6}-\sqrt{5\times \frac{1}{4}+1}+1=0$$

Պարզեցնել: x=\frac{1}{4} արժեքը չի բավարարում հավասարմանը։

$$2=0$$

Փոխարինեք 3-ը x-ով \sqrt{x+6}-\sqrt{5x+1}+1=0 հավասարման մեջ:

$$\sqrt{3+6}-\sqrt{5\times 3+1}+1=0$$

Պարզեցնել: x=3 արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$0=0$$

\sqrt{x+6}=\sqrt{5x+1}-1 հավասարումն ունի եզակի լուծում։

$$x=3$$