Լուծեք sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Լուծել x-ի համար

$$x=2$$

Լուծման քայլերը

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}:

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{5x-1} աստիճանը և ստացեք 5x-1:

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{3x-2} աստիճանը և ստացեք 3x-2:

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Համակցեք 5x և 3x և ստացեք 8x:

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Հանեք 2 -1-ից և ստացեք -3:

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{x-1} աստիճանը և ստացեք x-1:

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Հանեք 8x-3 հավասարման երկու կողմից:

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

8x-3-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Համակցեք x և -8x և ստացեք -7x:

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Գումարեք -1 և 3 և ստացեք 2:

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Ընդարձակեք \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}:

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի -2 աստիճանը և ստացեք 4:

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{5x-1} աստիճանը և ստացեք 5x-1:

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{3x-2} աստիճանը և ստացեք 3x-2:

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 5x-1-ով բազմապատկելու համար:

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Գործադրեք բաժանիչ հատկությունը՝ բազմապատկելով 20x-4-ի յուրաքանչյուր արտահայտությունը 3x-2-ի յուրաքանչյուր արտահայտությամբ:

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Համակցեք -40x և -12x և ստացեք -52x:

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(-7x+2\right)^{2}:

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Հանեք 49x^{2} երկու կողմերից:

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Համակցեք 60x^{2} և -49x^{2} և ստացեք 11x^{2}:

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Հավելել 28x-ը երկու կողմերում:

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Համակցեք -52x և 28x և ստացեք -24x:

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Հանեք 4 երկու կողմերից:

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Հանեք 4 8-ից և ստացեք 4:

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 11x^{2}+ax+bx+4։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 44 է։

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -24 գումար։

$$a=-22 b=-2$$

Նորից գրեք 11x^{2}-24x+4-ը \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)-ի տեսքով:

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Դուրս բերել 11x-ը առաջին իսկ -2-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Ֆակտորացրեք x-2 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-2=0-ն և 11x-2=0-ն։

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Փոխարինեք \frac{2}{11}-ը x-ով \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} հավասարման մեջ: \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} արտահայտությունը սահմանված չէ, քանի որ հարարմատը չի կարող լինել բացասական։

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Փոխարինեք 2-ը x-ով \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} հավասարման մեջ:

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Պարզեցնել: x=2 արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$1=1$$

\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} հավասարումն ունի եզակի լուծում։

$$x=2$$