Լուծեք sqrt{3x+4}-sqrt{x-4}=2sqrt{x}

$$\sqrt { 3 x + 4 } - \sqrt { x - 4 } = 2 \sqrt { x }$$

Լուծել x-ի համար

$$x=4$$

Լուծման քայլերը

Հանեք -\sqrt{x-4} հավասարման երկու կողմից:

$$\sqrt{3x+4}=2\sqrt{x}+\sqrt{x-4}$$

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(\sqrt{3x+4}\right)^{2}=\left(2\sqrt{x}+\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{3x+4} աստիճանը և ստացեք 3x+4:

$$3x+4=\left(2\sqrt{x}+\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2\sqrt{x}+\sqrt{x-4}\right)^{2}:

$$3x+4=4\left(\sqrt{x}\right)^{2}+4\sqrt{x}\sqrt{x-4}+\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{x} աստիճանը և ստացեք x:

$$3x+4=4x+4\sqrt{x}\sqrt{x-4}+\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{x-4} աստիճանը և ստացեք x-4:

$$3x+4=4x+4\sqrt{x}\sqrt{x-4}+x-4$$

Համակցեք 4x և x և ստացեք 5x:

$$3x+4=5x+4\sqrt{x}\sqrt{x-4}-4$$

Հանեք 5x-4 հավասարման երկու կողմից:

$$3x+4-\left(5x-4\right)=4\sqrt{x}\sqrt{x-4}$$

5x-4-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$3x+4-5x+4=4\sqrt{x}\sqrt{x-4}$$

Համակցեք 3x և -5x և ստացեք -2x:

$$-2x+4+4=4\sqrt{x}\sqrt{x-4}$$

Գումարեք 4 և 4 և ստացեք 8:

$$-2x+8=4\sqrt{x}\sqrt{x-4}$$

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(-2x+8\right)^{2}=\left(4\sqrt{x}\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(-2x+8\right)^{2}:

$$4x^{2}-32x+64=\left(4\sqrt{x}\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Ընդարձակեք \left(4\sqrt{x}\sqrt{x-4}\right)^{2}:

$$4x^{2}-32x+64=4^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի 4 աստիճանը և ստացեք 16:

$$4x^{2}-32x+64=16\left(\sqrt{x}\right)^{2}\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{x} աստիճանը և ստացեք x:

$$4x^{2}-32x+64=16x\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{x-4} աստիճանը և ստացեք x-4:

$$4x^{2}-32x+64=16x\left(x-4\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 16x x-4-ով բազմապատկելու համար:

$$4x^{2}-32x+64=16x^{2}-64x$$

Հանեք 16x^{2} երկու կողմերից:

$$4x^{2}-32x+64-16x^{2}=-64x$$

Համակցեք 4x^{2} և -16x^{2} և ստացեք -12x^{2}:

$$-12x^{2}-32x+64=-64x$$

Հավելել 64x-ը երկու կողմերում:

$$-12x^{2}-32x+64+64x=0$$

Համակցեք -32x և 64x և ստացեք 32x:

$$-12x^{2}+32x+64=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$-3x^{2}+8x+16=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ -3x^{2}+ax+bx+16։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=8 ab=-3\times 16=-48$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -48 է։

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 8 գումար։

$$a=12 b=-4$$

Նորից գրեք -3x^{2}+8x+16-ը \left(-3x^{2}+12x\right)+\left(-4x+16\right)-ի տեսքով:

$$\left(-3x^{2}+12x\right)+\left(-4x+16\right)$$

Դուրս բերել 3x-ը առաջին իսկ 4-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$3x\left(-x+4\right)+4\left(-x+4\right)$$

Ֆակտորացրեք -x+4 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(-x+4\right)\left(3x+4\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք -x+4=0-ն և 3x+4=0-ն։

$$x=4 x=-\frac{4}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{4}{3}-ը x-ով \sqrt{3x+4}-\sqrt{x-4}=2\sqrt{x} հավասարման մեջ: \sqrt{-\frac{4}{3}-4} արտահայտությունը սահմանված չէ, քանի որ հարարմատը չի կարող լինել բացասական։

$$\sqrt{3\left(-\frac{4}{3}\right)+4}-\sqrt{-\frac{4}{3}-4}=2\sqrt{-\frac{4}{3}}$$

Փոխարինեք 4-ը x-ով \sqrt{3x+4}-\sqrt{x-4}=2\sqrt{x} հավասարման մեջ:

$$\sqrt{3\times 4+4}-\sqrt{4-4}=2\sqrt{4}$$

Պարզեցնել: x=4 արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$4=4$$

\sqrt{3x+4}=\sqrt{x-4}+2\sqrt{x} հավասարումն ունի եզակի լուծում։

$$x=4$$