Լուծեք sqrt{2-x}=x-1

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

Լուծել x-ի համար

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

Լուծման քայլերը

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{2-x} աստիճանը և ստացեք 2-x:

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-1\right)^{2}:

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

Համակցեք -x և 2x և ստացեք x:

$$2+x-x^{2}=1$$

Հանեք 1 երկու կողմերից:

$$2+x-x^{2}-1=0$$

Հանեք 1 2-ից և ստացեք 1:

$$1+x-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$-x^{2}+x+1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք -1-ը a-ով, 1-ը b-ով և 1-ը c-ով:

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

1-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -1:

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Գումարեք 1 4-ին:

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -1:

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -1 \sqrt{5}-ին:

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Բաժանեք -1+\sqrt{5}-ը -2-ի վրա:

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք \sqrt{5} -1-ից:

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Բաժանեք -1-\sqrt{5}-ը -2-ի վրա:

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Փոխարինեք \frac{1-\sqrt{5}}{2}-ը x-ով \sqrt{2-x}=x-1 հավասարման մեջ:

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

Պարզեցնել: x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} արժեքը չի բավարարում հավասարմանը, քանի որ ձախ և աջ կողմերն ունեն հակադիր նշաններ։

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Փոխարինեք \frac{\sqrt{5}+1}{2}-ը x-ով \sqrt{2-x}=x-1 հավասարման մեջ:

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

Պարզեցնել: x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

\sqrt{2-x}=x-1 հավասարումն ունի եզակի լուծում։

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$