Լուծեք sqrt{(7-x)^2+(1-y)^2}=sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2}

$$\sqrt { ( 7 - x ) ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( 3 - x ) ^ { 2 } + ( 5 - y ) ^ { 2 } }$$

Լուծել x-ի համար

$$x=y+2$$

Լուծման քայլերը

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(7-x\right)^{2}:

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(1-y\right)^{2}:

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Գումարեք 49 և 1 և ստացեք 50:

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} աստիճանը և ստացեք 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}:

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(3-x\right)^{2}:

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(5-y\right)^{2}:

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Գումարեք 9 և 25 և ստացեք 34:

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} աստիճանը և ստացեք 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}:

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Հավելել 6x-ը երկու կողմերում:

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+6x=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Համակցեք -14x և 6x և ստացեք -8x:

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}-x^{2}=34-10y+y^{2}$$

Համակցեք x^{2} և -x^{2} և ստացեք 0:

$$50-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}$$

Հանեք 50 երկու կողմերից:

$$-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}-50$$

Հանեք 50 34-ից և ստացեք -16:

$$-8x-2y+y^{2}=-16-10y+y^{2}$$

Հավելել 2y-ը երկու կողմերում:

$$-8x+y^{2}=-16-10y+y^{2}+2y$$

Համակցեք -10y և 2y և ստացեք -8y:

$$-8x+y^{2}=-16-8y+y^{2}$$

Հանեք y^{2} երկու կողմերից:

$$-8x=-16-8y+y^{2}-y^{2}$$

Համակցեք y^{2} և -y^{2} և ստացեք 0:

$$-8x=-16-8y$$

Հավասարումն այժմ ստանդարտ ձևով է:

$$-8x=-8y-16$$

Բաժանեք երկու կողմերը -8-ի:

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{-8y-16}{-8}$$

Բաժանելով -8-ի՝ հետարկվում է -8-ով բազմապատկումը:

$$x=\frac{-8y-16}{-8}$$

Բաժանեք -16-8y-ը -8-ի վրա:

$$x=y+2$$

Փոխարինեք y+2-ը x-ով \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} հավասարման մեջ:

$$\sqrt{\left(7-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}$$

Պարզեցնել: x=y+2 արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}$$

\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} հավասարումն ունի եզակի լուծում։

$$x=y+2$$

Լուծել y-ի համար

$$y=x-2$$

Լուծման քայլերը

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(7-x\right)^{2}:

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(1-y\right)^{2}:

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Գումարեք 49 և 1 և ստացեք 50:

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} աստիճանը և ստացեք 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}:

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(3-x\right)^{2}:

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(5-y\right)^{2}:

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Գումարեք 9 և 25 և ստացեք 34:

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} աստիճանը և ստացեք 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}:

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Հավելել 10y-ը երկու կողմերում:

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+10y=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Համակցեք -2y և 10y և ստացեք 8y:

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Հանեք y^{2} երկու կողմերից:

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}-y^{2}=34-6x+x^{2}$$

Համակցեք y^{2} և -y^{2} և ստացեք 0:

$$50-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}$$

Հանեք 50 երկու կողմերից:

$$-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}-50$$

Հանեք 50 34-ից և ստացեք -16:

$$-14x+x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}$$

Հավելել 14x-ը երկու կողմերում:

$$x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}+14x$$

Համակցեք -6x և 14x և ստացեք 8x:

$$x^{2}+8y=-16+8x+x^{2}$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$8y=-16+8x+x^{2}-x^{2}$$

Համակցեք x^{2} և -x^{2} և ստացեք 0:

$$8y=-16+8x$$

Հավասարումն այժմ ստանդարտ ձևով է:

$$8y=8x-16$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$\frac{8y}{8}=\frac{8x-16}{8}$$

Բաժանելով 8-ի՝ հետարկվում է 8-ով բազմապատկումը:

$$y=\frac{8x-16}{8}$$

Բաժանեք -16+8x-ը 8-ի վրա:

$$y=x-2$$

Փոխարինեք x-2-ը y-ով \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} հավասարման մեջ:

$$\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-\left(x-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-\left(x-2\right)\right)^{2}}$$

Պարզեցնել: y=x-2 արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}$$

\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} հավասարումն ունի եզակի լուծում։

$$y=x-2$$