Լուծեք {l}{x+y=39}{4x+2y=126}

$$\left.\begin{array} { l } { x + y = 39 } \\ { 4 x + 2 y = 126 } \end{array} \right\}$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=24$$

$$y=15$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=39,4x+2y=126$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=39$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+39$$

Փոխարինեք -y+39-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+2y=126:

$$4\left(-y+39\right)+2y=126$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -y+39:

$$-4y+156+2y=126$$

Գումարեք -4y 2y-ին:

$$-2y+156=126$$

Հանեք 156 հավասարման երկու կողմից:

$$-2y=-30$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=15$$

Փոխարինեք 15-ը y-ով x=-y+39-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-15+39$$

Գումարեք 39 -15-ին:

$$x=24$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=24,y=15$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=39,4x+2y=126$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\2&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39+\frac{1}{2}\times 126\\2\times 39-\frac{1}{2}\times 126\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\15\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=24,y=15$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=39,4x+2y=126$$

x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$4x+4y=4\times 39,4x+2y=126$$

Պարզեցնել:

$$4x+4y=156,4x+2y=126$$

Հանեք 4x+2y=126 4x+4y=156-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$4x-4x+4y-2y=156-126$$

Գումարեք 4x -4x-ին: 4x-ը և -4x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4y-2y=156-126$$

Գումարեք 4y -2y-ին:

$$2y=156-126$$

Գումարեք 156 -126-ին:

$$2y=30$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=15$$

Փոխարինեք 15-ը y-ով 4x+2y=126-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+2\times 15=126$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 15:

$$4x+30=126$$

Հանեք 30 հավասարման երկու կողմից:

$$4x=96$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=24$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=24,y=15$$