Լուծեք {l}{x+3y=5}{2x-5y=3}x

$$\left.\begin{array} { l } { x + 3 y = 5 } \\ { 2 x - 5 y = 3 } \end{array} \right\} x$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{34}{11} = 3\frac{1}{11} \approx 3.090909091$$

$$y=\frac{7}{11}\approx 0.636363636$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+3y=5,2x-5y=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+3y=5$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-3y+5$$

Փոխարինեք -3y+5-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x-5y=3:

$$2\left(-3y+5\right)-5y=3$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -3y+5:

$$-6y+10-5y=3$$

Գումարեք -6y -5y-ին:

$$-11y+10=3$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$-11y=-7$$

Բաժանեք երկու կողմերը -11-ի:

$$y=\frac{7}{11}$$

Փոխարինեք \frac{7}{11}-ը y-ով x=-3y+5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-3\times \frac{7}{11}+5$$

Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{7}{11}:

$$x=-\frac{21}{11}+5$$

Գումարեք 5 -\frac{21}{11}-ին:

$$x=\frac{34}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{7}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+3y=5,2x-5y=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&3\\2&-5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-3\times 2}&-\frac{3}{-5-3\times 2}\\-\frac{2}{-5-3\times 2}&\frac{1}{-5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}\times 5+\frac{3}{11}\times 3\\\frac{2}{11}\times 5-\frac{1}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{34}{11}\\\frac{7}{11}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{7}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+3y=5,2x-5y=3$$

x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$2x+2\times 3y=2\times 5,2x-5y=3$$

Պարզեցնել:

$$2x+6y=10,2x-5y=3$$

Հանեք 2x-5y=3 2x+6y=10-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x+6y+5y=10-3$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6y+5y=10-3$$

Գումարեք 6y 5y-ին:

$$11y=10-3$$

Գումարեք 10 -3-ին:

$$11y=7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 11-ի:

$$y=\frac{7}{11}$$

Փոխարինեք \frac{7}{11}-ը y-ով 2x-5y=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x-5\times \frac{7}{11}=3$$

Բազմապատկեք -5 անգամ \frac{7}{11}:

$$2x-\frac{35}{11}=3$$

Գումարեք \frac{35}{11} հավասարման երկու կողմին:

$$2x=\frac{68}{11}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{34}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{7}{11}$$