Լուծեք {l}{4*(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x}

$$\left.\begin{array} { l } { 4 \cdot ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x+2y-ով բազմապատկելու համար:

$$4x+8y-x=-y$$

Համակցեք 4x և -x և ստացեք 3x:

$$3x+8y=-y$$

Հավելել y-ը երկու կողմերում:

$$3x+8y+y=0$$

Համակցեք 8y և y և ստացեք 9y:

$$3x+9y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$-3x-2y=-4-x$$

Հավելել x-ը երկու կողմերում:

$$-3x-2y+x=-4$$

Համակցեք -3x և x և ստացեք -2x:

$$-2x-2y=-4$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+9y=0$$

Հանեք 9y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-9y$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-9\right)y$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -9y:

$$x=-3y$$

Փոխարինեք -3y-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x-2y=-4:

$$-2\left(-3\right)y-2y=-4$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -3y:

$$6y-2y=-4$$

Գումարեք 6y -2y-ին:

$$4y=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով x=-3y-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-3\left(-1\right)$$

Բազմապատկեք -3 անգամ -1:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x+2y-ով բազմապատկելու համար:

$$4x+8y-x=-y$$

Համակցեք 4x և -x և ստացեք 3x:

$$3x+8y=-y$$

Հավելել y-ը երկու կողմերում:

$$3x+8y+y=0$$

Համակցեք 8y և y և ստացեք 9y:

$$3x+9y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$-3x-2y=-4-x$$

Հավելել x-ը երկու կողմերում:

$$-3x-2y+x=-4$$

Համակցեք -3x և x և ստացեք -2x:

$$-2x-2y=-4$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&-\frac{9}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x+2y-ով բազմապատկելու համար:

$$4x+8y-x=-y$$

Համակցեք 4x և -x և ստացեք 3x:

$$3x+8y=-y$$

Հավելել y-ը երկու կողմերում:

$$3x+8y+y=0$$

Համակցեք 8y և y և ստացեք 9y:

$$3x+9y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$-3x-2y=-4-x$$

Հավելել x-ը երկու կողմերում:

$$-3x-2y+x=-4$$

Համակցեք -3x և x և ստացեք -2x:

$$-2x-2y=-4$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

3x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$-2\times 3x-2\times 9y=0,3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\left(-4\right)$$

Պարզեցնել:

$$-6x-18y=0,-6x-6y=-12$$

Հանեք -6x-6y=-12 -6x-18y=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-6x+6x-18y+6y=12$$

Գումարեք -6x 6x-ին: -6x-ը և 6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-18y+6y=12$$

Գումարեք -18y 6y-ին:

$$-12y=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -12-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով -2x-2y=-4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x-2\left(-1\right)=-4$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -1:

$$-2x+2=-4$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=-1$$