Լուծեք {c}{27/5+4/5*y=-4*x+3/5}{8*x=-8-3*y}

$$\left.\begin{array} { c } { \frac { 27 } { 5 } + \frac { 4 } { 5 } \cdot y = \frac { - 4 \cdot x + 3 } { 5 } } \\ { 8 \cdot x = - 8 - 3 \cdot y } \end{array} \right\}$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=2$$

$$y=-8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 5-ով:

$$27+4y=-4x+3$$

Հավելել 4x-ը երկու կողմերում:

$$27+4y+4x=3$$

Հանեք 27 երկու կողմերից:

$$4y+4x=3-27$$

Հանեք 27 3-ից և ստացեք -24:

$$4y+4x=-24$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 3y-ը երկու կողմերում:

$$8x+3y=-8$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4y+4x=-24$$

Հանեք 4x հավասարման երկու կողմից:

$$4y=-4x-24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$y=\frac{1}{4}\left(-4x-24\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -4x-24:

$$y=-x-6$$

Փոխարինեք -x-6-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3y+8x=-8:

$$3\left(-x-6\right)+8x=-8$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -x-6:

$$-3x-18+8x=-8$$

Գումարեք -3x 8x-ին:

$$5x-18=-8$$

Գումարեք 18 հավասարման երկու կողմին:

$$5x=10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=2$$

Փոխարինեք 2-ը x-ով y=-x-6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-2-6$$

Գումարեք -6 -2-ին:

$$y=-8$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-8,x=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 5-ով:

$$27+4y=-4x+3$$

Հավելել 4x-ը երկու կողմերում:

$$27+4y+4x=3$$

Հանեք 27 երկու կողմերից:

$$4y+4x=3-27$$

Հանեք 27 3-ից և ստացեք -24:

$$4y+4x=-24$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 3y-ը երկու կողմերում:

$$8x+3y=-8$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{4\times 8-4\times 3}&-\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\\-\frac{3}{4\times 8-4\times 3}&\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{20}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-24\right)-\frac{1}{5}\left(-8\right)\\-\frac{3}{20}\left(-24\right)+\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-8,x=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 5-ով:

$$27+4y=-4x+3$$

Հավելել 4x-ը երկու կողմերում:

$$27+4y+4x=3$$

Հանեք 27 երկու կողմերից:

$$4y+4x=3-27$$

Հանեք 27 3-ից և ստացեք -24:

$$4y+4x=-24$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 3y-ը երկու կողմերում:

$$8x+3y=-8$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

4y-ը և 3y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$3\times 4y+3\times 4x=3\left(-24\right),4\times 3y+4\times 8x=4\left(-8\right)$$

Պարզեցնել:

$$12y+12x=-72,12y+32x=-32$$

Հանեք 12y+32x=-32 12y+12x=-72-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12y-12y+12x-32x=-72+32$$

Գումարեք 12y -12y-ին: 12y-ը և -12y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$12x-32x=-72+32$$

Գումարեք 12x -32x-ին:

$$-20x=-72+32$$

Գումարեք -72 32-ին:

$$-20x=-40$$

Բաժանեք երկու կողմերը -20-ի:

$$x=2$$

Փոխարինեք 2-ը x-ով 3y+8x=-8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$3y+8\times 2=-8$$

Բազմապատկեք 8 անգամ 2:

$$3y+16=-8$$

Հանեք 16 հավասարման երկու կողմից:

$$3y=-24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=-8$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-8,x=2$$