Լուծեք {l}{x=2y-3}{2x+5y=30}

$$\left. \begin{array}{l}{ x = 2 y - 3 }\\{ 2 x + 5 y = 30 }\end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=5$$

$$y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$x-2y=-3$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-2y=-3,2x+5y=30$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-2y=-3$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$x=2y-3$$

Փոխարինեք 2y-3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+5y=30:

$$2\left(2y-3\right)+5y=30$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2y-3:

$$4y-6+5y=30$$

Գումարեք 4y 5y-ին:

$$9y-6=30$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$9y=36$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով x=2y-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=2\times 4-3$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=8-3$$

Գումարեք -3 8-ին:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$x-2y=-3$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-2y=-3,2x+5y=30$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\left(-3\right)+\frac{2}{9}\times 30\\-\frac{2}{9}\left(-3\right)+\frac{1}{9}\times 30\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=5,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$x-2y=-3$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-2y=-3,2x+5y=30$$

x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$2x+2\left(-2\right)y=2\left(-3\right),2x+5y=30$$

Պարզեցնել:

$$2x-4y=-6,2x+5y=30$$

Հանեք 2x+5y=30 2x-4y=-6-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x-4y-5y=-6-30$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4y-5y=-6-30$$

Գումարեք -4y -5y-ին:

$$-9y=-6-30$$

Գումարեք -6 -30-ին:

$$-9y=-36$$

Բաժանեք երկու կողմերը -9-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով 2x+5y=30-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+5\times 4=30$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 4:

$$2x+20=30$$

Հանեք 20 հավասարման երկու կողմից:

$$2x=10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=4$$