Լուծեք {l}{x+4y=9}{-2x+5y=21}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 4 y = 9 }\\{ - 2 x + 5 y = 21 }\end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-3$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+4y=9,-2x+5y=21$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+4y=9$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-4y+9$$

Փոխարինեք -4y+9-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x+5y=21:

$$-2\left(-4y+9\right)+5y=21$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -4y+9:

$$8y-18+5y=21$$

Գումարեք 8y 5y-ին:

$$13y-18=21$$

Գումարեք 18 հավասարման երկու կողմին:

$$13y=39$$

Բաժանեք երկու կողմերը 13-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=-4y+9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-4\times 3+9$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 3:

$$x=-12+9$$

Գումարեք 9 -12-ին:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+4y=9,-2x+5y=21$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&4\\-2&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{5-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5-4\left(-2\right)}&\frac{1}{5-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&-\frac{4}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 9-\frac{4}{13}\times 21\\\frac{2}{13}\times 9+\frac{1}{13}\times 21\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-3,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+4y=9,-2x+5y=21$$

x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-2x-2\times 4y=-2\times 9,-2x+5y=21$$

Պարզեցնել:

$$-2x-8y=-18,-2x+5y=21$$

Հանեք -2x+5y=21 -2x-8y=-18-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2x+2x-8y-5y=-18-21$$

Գումարեք -2x 2x-ին: -2x-ը և 2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-8y-5y=-18-21$$

Գումարեք -8y -5y-ին:

$$-13y=-18-21$$

Գումարեք -18 -21-ին:

$$-13y=-39$$

Բաժանեք երկու կողմերը -13-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով -2x+5y=21-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x+5\times 3=21$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 3:

$$-2x+15=21$$

Հանեք 15 հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=3$$