Լուծեք {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 1+y-ով բազմապատկելու համար:

$$x+2y=3+3y+1$$

Գումարեք 3 և 1 և ստացեք 4:

$$x+2y=4+3y$$

Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x+2y-3y=4$$

Համակցեք 2y և -3y և ստացեք -y:

$$x-y=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 1-y-ով բազմապատկելու համար:

$$8-y=2-2y+3x$$

Հավելել 2y-ը երկու կողմերում:

$$8-y+2y=2+3x$$

Համակցեք -y և 2y և ստացեք y:

$$8+y=2+3x$$

Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$8+y-3x=2$$

Հանեք 8 երկու կողմերից:

$$y-3x=2-8$$

Հանեք 8 2-ից և ստացեք -6:

$$y-3x=-6$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-y=4$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$x=y+4$$

Փոխարինեք y+4-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -3x+y=-6:

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

Բազմապատկեք -3 անգամ y+4:

$$-3y-12+y=-6$$

Գումարեք -3y y-ին:

$$-2y-12=-6$$

Գումարեք 12 հավասարման երկու կողմին:

$$-2y=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով x=y+4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-3+4$$

Գումարեք 4 -3-ին:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 1+y-ով բազմապատկելու համար:

$$x+2y=3+3y+1$$

Գումարեք 3 և 1 և ստացեք 4:

$$x+2y=4+3y$$

Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x+2y-3y=4$$

Համակցեք 2y և -3y և ստացեք -y:

$$x-y=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 1-y-ով բազմապատկելու համար:

$$8-y=2-2y+3x$$

Հավելել 2y-ը երկու կողմերում:

$$8-y+2y=2+3x$$

Համակցեք -y և 2y և ստացեք y:

$$8+y=2+3x$$

Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$8+y-3x=2$$

Հանեք 8 երկու կողմերից:

$$y-3x=2-8$$

Հանեք 8 2-ից և ստացեք -6:

$$y-3x=-6$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 1+y-ով բազմապատկելու համար:

$$x+2y=3+3y+1$$

Գումարեք 3 և 1 և ստացեք 4:

$$x+2y=4+3y$$

Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x+2y-3y=4$$

Համակցեք 2y և -3y և ստացեք -y:

$$x-y=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 1-y-ով բազմապատկելու համար:

$$8-y=2-2y+3x$$

Հավելել 2y-ը երկու կողմերում:

$$8-y+2y=2+3x$$

Համակցեք -y և 2y և ստացեք y:

$$8+y=2+3x$$

Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$8+y-3x=2$$

Հանեք 8 երկու կողմերից:

$$y-3x=2-8$$

Հանեք 8 2-ից և ստացեք -6:

$$y-3x=-6$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

x-ը և -3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

Պարզեցնել:

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

Հանեք -3x+y=-6 -3x+3y=-12-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

Գումարեք -3x 3x-ին: -3x-ը և 3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3y-y=-12+6$$

Գումարեք 3y -y-ին:

$$2y=-12+6$$

Գումարեք -12 6-ին:

$$2y=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով -3x+y=-6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-3x-3=-6$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$-3x=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=-3$$