Լուծեք {l}{7x-8y=-12}{-4x+2y=3}

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x - 8 y = - 12 }\\{ - 4 x + 2 y = 3 }\end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=0$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$7x-8y=-12$$

Գումարեք 8y հավասարման երկու կողմին:

$$7x=8y-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{1}{7}\left(8y-12\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{7} անգամ 8y-12:

$$x=\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}$$

Փոխարինեք \frac{8y-12}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -4x+2y=3:

$$-4\left(\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}\right)+2y=3$$

Բազմապատկեք -4 անգամ \frac{8y-12}{7}:

$$-\frac{32}{7}y+\frac{48}{7}+2y=3$$

Գումարեք -\frac{32y}{7} 2y-ին:

$$-\frac{18}{7}y+\frac{48}{7}=3$$

Հանեք \frac{48}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{18}{7}y=-\frac{27}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{18}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք \frac{3}{2}-ը y-ով x=\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{3}{2}-\frac{12}{7}$$

Բազմապատկեք \frac{8}{7} անգամ \frac{3}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{12-12}{7}$$

Գումարեք -\frac{12}{7} \frac{12}{7}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}&-\frac{-8}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{7}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\left(-12\right)-\frac{4}{9}\times 3\\-\frac{2}{9}\left(-12\right)-\frac{7}{18}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

7x-ը և -4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 7-ով:

$$-4\times 7x-4\left(-8\right)y=-4\left(-12\right),7\left(-4\right)x+7\times 2y=7\times 3$$

Պարզեցնել:

$$-28x+32y=48,-28x+14y=21$$

Հանեք -28x+14y=21 -28x+32y=48-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-28x+28x+32y-14y=48-21$$

Գումարեք -28x 28x-ին: -28x-ը և 28x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$32y-14y=48-21$$

Գումարեք 32y -14y-ին:

$$18y=48-21$$

Գումարեք 48 -21-ին:

$$18y=27$$

Բաժանեք երկու կողմերը 18-ի:

$$y=\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք \frac{3}{2}-ը y-ով -4x+2y=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-4x+2\times \frac{3}{2}=3$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{3}{2}:

$$-4x+3=3$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$-4x=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$