Լուծեք {l}{4x-2y=13}{-2x+2y=1}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 x - 2 y = 13 }\\{ - 2 x + 2 y = 1 }\end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=7$$

$$y = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x-2y=13$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$4x=2y+13$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+13\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ 2y+13:

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}$$

Փոխարինեք \frac{y}{2}+\frac{13}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x+2y=1:

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}\right)+2y=1$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{y}{2}+\frac{13}{4}:

$$-y-\frac{13}{2}+2y=1$$

Գումարեք -y 2y-ին:

$$y-\frac{13}{2}=1$$

Գումարեք \frac{13}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$y=\frac{15}{2}$$

Փոխարինեք \frac{15}{2}-ը y-ով x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{15}{2}+\frac{13}{4}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ \frac{15}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{15+13}{4}$$

Գումարեք \frac{13}{4} \frac{15}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 13+\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\times 13+1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

4x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$-2\times 4x-2\left(-2\right)y=-2\times 13,4\left(-2\right)x+4\times 2y=4$$

Պարզեցնել:

$$-8x+4y=-26,-8x+8y=4$$

Հանեք -8x+8y=4 -8x+4y=-26-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-8x+8x+4y-8y=-26-4$$

Գումարեք -8x 8x-ին: -8x-ը և 8x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4y-8y=-26-4$$

Գումարեք 4y -8y-ին:

$$-4y=-26-4$$

Գումարեք -26 -4-ին:

$$-4y=-30$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$y=\frac{15}{2}$$

Փոխարինեք \frac{15}{2}-ը y-ով -2x+2y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x+2\times \frac{15}{2}=1$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{15}{2}:

$$-2x+15=1$$

Հանեք 15 հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=-14$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$