Լուծեք {l}{4a+2b=34}{16a+3b=91}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 a + 2 b = 34 }\\{ 16 a + 3 b = 91 }\end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a=4$$

$$b=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4a+2b=34,16a+3b=91$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4a+2b=34$$

Հանեք 2b հավասարման երկու կողմից:

$$4a=-2b+34$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$a=\frac{1}{4}\left(-2b+34\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -2b+34:

$$a=-\frac{1}{2}b+\frac{17}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-b+17}{2}-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 16a+3b=91:

$$16\left(-\frac{1}{2}b+\frac{17}{2}\right)+3b=91$$

Բազմապատկեք 16 անգամ \frac{-b+17}{2}:

$$-8b+136+3b=91$$

Գումարեք -8b 3b-ին:

$$-5b+136=91$$

Հանեք 136 հավասարման երկու կողմից:

$$-5b=-45$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$b=9$$

Փոխարինեք 9-ը b-ով a=-\frac{1}{2}b+\frac{17}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=-\frac{1}{2}\times 9+\frac{17}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ 9:

$$a=\frac{-9+17}{2}$$

Գումարեք \frac{17}{2} -\frac{9}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$a=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=4,b=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4a+2b=34,16a+3b=91$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-2\times 16}&-\frac{2}{4\times 3-2\times 16}\\-\frac{16}{4\times 3-2\times 16}&\frac{4}{4\times 3-2\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}&\frac{1}{10}\\\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}\times 34+\frac{1}{10}\times 91\\\frac{4}{5}\times 34-\frac{1}{5}\times 91\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=4,b=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4a+2b=34,16a+3b=91$$

4a-ը և 16a-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 16-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$16\times 4a+16\times 2b=16\times 34,4\times 16a+4\times 3b=4\times 91$$

Պարզեցնել:

$$64a+32b=544,64a+12b=364$$

Հանեք 64a+12b=364 64a+32b=544-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$64a-64a+32b-12b=544-364$$

Գումարեք 64a -64a-ին: 64a-ը և -64a-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$32b-12b=544-364$$

Գումարեք 32b -12b-ին:

$$20b=544-364$$

Գումարեք 544 -364-ին:

$$20b=180$$

Բաժանեք երկու կողմերը 20-ի:

$$b=9$$

Փոխարինեք 9-ը b-ով 16a+3b=91-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$16a+3\times 9=91$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 9:

$$16a+27=91$$

Հանեք 27 հավասարման երկու կողմից:

$$16a=64$$

Բաժանեք երկու կողմերը 16-ի:

$$a=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=4,b=9$$