Լուծեք {l}{2x+y=17}{y=6x+1}

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x + y = 17 }\\{ y = 6 x + 1 }\end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2$$

$$y=13$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 6x երկու կողմերից:

$$y-6x=1$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+y=17,-6x+y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+y=17$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-y+17$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+17\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -y+17:

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-y+17}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -6x+y=1:

$$-6\left(-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}\right)+y=1$$

Բազմապատկեք -6 անգամ \frac{-y+17}{2}:

$$3y-51+y=1$$

Գումարեք 3y y-ին:

$$4y-51=1$$

Գումարեք 51 հավասարման երկու կողմին:

$$4y=52$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$y=13$$

Փոխարինեք 13-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\times 13+\frac{17}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ 13:

$$x=\frac{-13+17}{2}$$

Գումարեք \frac{17}{2} -\frac{13}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=13$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 6x երկու կողմերից:

$$y-6x=1$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+y=17,-6x+y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-6\right)}&-\frac{1}{2-\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2-\left(-6\right)}&\frac{2}{2-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 17-\frac{1}{8}\\\frac{3}{4}\times 17+\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2,y=13$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 6x երկու կողմերից:

$$y-6x=1$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+y=17,-6x+y=1$$

Հանեք -6x+y=1 2x+y=17-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x+6x+y-y=17-1$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2x+6x=17-1$$

Գումարեք 2x 6x-ին:

$$8x=17-1$$

Գումարեք 17 -1-ին:

$$8x=16$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$x=2$$

Փոխարինեք 2-ը x-ով -6x+y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-6\times 2+y=1$$

Բազմապատկեք -6 անգամ 2:

$$-12+y=1$$

Գումարեք 12 հավասարման երկու կողմին:

$$y=13$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=13$$