Լուծեք {l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4}

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=5$$

$$y=17$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: y փոփոխականը չի կարող հավասար լինել -1-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 3\left(y+1\right)-ով՝ y+1,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3=y+1$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$3x+3-y=1$$

Հանեք 3 երկու կողմերից:

$$3x-y=1-3$$

Հանեք 3 1-ից և ստացեք -2:

$$3x-y=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: y փոփոխականը չի կարող հավասար լինել 1-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 4\left(y-1\right)-ով՝ y-1,4-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x-1-ով բազմապատկելու համար:

$$4x-4=y-1$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$4x-4-y=-1$$

Հավելել 4-ը երկու կողմերում:

$$4x-y=-1+4$$

Գումարեք -1 և 4 և ստացեք 3:

$$4x-y=3$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-y=-2$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=y-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ y-2:

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-2+y}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x-y=3:

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{-2+y}{3}:

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

Գումարեք \frac{4y}{3} -y-ին:

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

Գումարեք \frac{8}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 3-ով:

$$y=17$$

Փոխարինեք 17-ը y-ով x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 17:

$$x=\frac{17-2}{3}$$

Գումարեք -\frac{2}{3} \frac{17}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=17$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: y փոփոխականը չի կարող հավասար լինել -1-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 3\left(y+1\right)-ով՝ y+1,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3=y+1$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$3x+3-y=1$$

Հանեք 3 երկու կողմերից:

$$3x-y=1-3$$

Հանեք 3 1-ից և ստացեք -2:

$$3x-y=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: y փոփոխականը չի կարող հավասար լինել 1-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 4\left(y-1\right)-ով՝ y-1,4-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x-1-ով բազմապատկելու համար:

$$4x-4=y-1$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$4x-4-y=-1$$

Հավելել 4-ը երկու կողմերում:

$$4x-y=-1+4$$

Գումարեք -1 և 4 և ստացեք 3:

$$4x-y=3$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=5,y=17$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: y փոփոխականը չի կարող հավասար լինել -1-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 3\left(y+1\right)-ով՝ y+1,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3=y+1$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$3x+3-y=1$$

Հանեք 3 երկու կողմերից:

$$3x-y=1-3$$

Հանեք 3 1-ից և ստացեք -2:

$$3x-y=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: y փոփոխականը չի կարող հավասար լինել 1-ի, քանի որ բաժանումը զրոյի վրա սահմանված չէ: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 4\left(y-1\right)-ով՝ y-1,4-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x-1-ով բազմապատկելու համար:

$$4x-4=y-1$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$4x-4-y=-1$$

Հավելել 4-ը երկու կողմերում:

$$4x-y=-1+4$$

Գումարեք -1 և 4 և ստացեք 3:

$$4x-y=3$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Հանեք 4x-y=3 3x-y=-2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

Գումարեք -y y-ին: -y-ը և y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3x-4x=-2-3$$

Գումարեք 3x -4x-ին:

$$-x=-2-3$$

Գումարեք -2 -3-ին:

$$-x=-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=5$$

Փոխարինեք 5-ը x-ով 4x-y=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$4\times 5-y=3$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 5:

$$20-y=3$$

Հանեք 20 հավասարման երկու կողմից:

$$-y=-17$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=17$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=17$$