Լուծեք {r}{x-1=y+1}{2(y-1)=x+1}

$$\left. \begin{array} { r } { x - 1 = y + 1 } \\ { 2 ( y - 1 ) = x + 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=7$$

$$y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$x-1-y=1$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում:

$$x-y=1+1$$

Գումարեք 1 և 1 և ստացեք 2:

$$x-y=2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 y-1-ով բազմապատկելու համար:

$$2y-2=x+1$$

Հանեք x երկու կողմերից:

$$2y-2-x=1$$

Հավելել 2-ը երկու կողմերում:

$$2y-x=1+2$$

Գումարեք 1 և 2 և ստացեք 3:

$$2y-x=3$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-y=2,-x+2y=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-y=2$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$x=y+2$$

Փոխարինեք y+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+2y=3:

$$-\left(y+2\right)+2y=3$$

Բազմապատկեք -1 անգամ y+2:

$$-y-2+2y=3$$

Գումարեք -y 2y-ին:

$$y-2=3$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով x=y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=5+2$$

Գումարեք 2 5-ին:

$$x=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=7,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$x-1-y=1$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում:

$$x-y=1+1$$

Գումարեք 1 և 1 և ստացեք 2:

$$x-y=2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 y-1-ով բազմապատկելու համար:

$$2y-2=x+1$$

Հանեք x երկու կողմերից:

$$2y-2-x=1$$

Հավելել 2-ը երկու կողմերում:

$$2y-x=1+2$$

Գումարեք 1 և 2 և ստացեք 3:

$$2y-x=3$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-y=2,-x+2y=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2+3\\2+3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=7,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$x-1-y=1$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում:

$$x-y=1+1$$

Գումարեք 1 և 1 և ստացեք 2:

$$x-y=2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 y-1-ով բազմապատկելու համար:

$$2y-2=x+1$$

Հանեք x երկու կողմերից:

$$2y-2-x=1$$

Հավելել 2-ը երկու կողմերում:

$$2y-x=1+2$$

Գումարեք 1 և 2 և ստացեք 3:

$$2y-x=3$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-y=2,-x+2y=3$$

x-ը և -x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-x-\left(-y\right)=-2,-x+2y=3$$

Պարզեցնել:

$$-x+y=-2,-x+2y=3$$

Հանեք -x+2y=3 -x+y=-2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-x+x+y-2y=-2-3$$

Գումարեք -x x-ին: -x-ը և x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$y-2y=-2-3$$

Գումարեք y -2y-ին:

$$-y=-2-3$$

Գումարեք -2 -3-ին:

$$-y=-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով -x+2y=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-x+2\times 5=3$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 5:

$$-x+10=3$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-7$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=7,y=5$$