Լուծեք {r}{x+y=270}{0.08x+0.13y=32.-1}

$$\left. \begin{array} { r } { x + y = 270 } \\ { 0.08 x + 0.13 y = 32 . - 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=62$$

$$y=208$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=270,0.08x+0.13y=32$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=270$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+270$$

Փոխարինեք -y+270-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 0.08x+0.13y=32:

$$0.08\left(-y+270\right)+0.13y=32$$

Բազմապատկեք 0.08 անգամ -y+270:

$$-0.08y+21.6+0.13y=32$$

Գումարեք -\frac{2y}{25} \frac{13y}{100}-ին:

$$0.05y+21.6=32$$

Հանեք 21.6 հավասարման երկու կողմից:

$$0.05y=10.4$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 20-ով:

$$y=208$$

Փոխարինեք 208-ը y-ով x=-y+270-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-208+270$$

Գումարեք 270 -208-ին:

$$x=62$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=62,y=208$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=270,0.08x+0.13y=32$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}270\\32\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}270\\32\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}270\\32\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}270\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.13}{0.13-0.08}&-\frac{1}{0.13-0.08}\\-\frac{0.08}{0.13-0.08}&\frac{1}{0.13-0.08}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}270\\32\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.6&-20\\-1.6&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}270\\32\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.6\times 270-20\times 32\\-1.6\times 270+20\times 32\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\208\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=62,y=208$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=270,0.08x+0.13y=32$$

x-ը և \frac{2x}{25}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 0.08-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$0.08x+0.08y=0.08\times 270,0.08x+0.13y=32$$

Պարզեցնել:

$$0.08x+0.08y=21.6,0.08x+0.13y=32$$

Հանեք 0.08x+0.13y=32 0.08x+0.08y=21.6-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$0.08x-0.08x+0.08y-0.13y=21.6-32$$

Գումարեք \frac{2x}{25} -\frac{2x}{25}-ին: \frac{2x}{25}-ը և -\frac{2x}{25}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$0.08y-0.13y=21.6-32$$

Գումարեք \frac{2y}{25} -\frac{13y}{100}-ին:

$$-0.05y=21.6-32$$

Գումարեք 21.6 -32-ին:

$$-0.05y=-10.4$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -20-ով:

$$y=208$$

Փոխարինեք 208-ը y-ով 0.08x+0.13y=32-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$0.08x+0.13\times 208=32$$

Բազմապատկեք 0.13 անգամ 208:

$$0.08x+27.04=32$$

Հանեք 27.04 հավասարման երկու կողմից:

$$0.08x=4.96$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 0.08-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=62$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=62,y=208$$