Լուծեք {r}{x+4y=40}{-x+8y=68}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 40 } \\ { - x + 8 y = 68 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=4$$

$$y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+4y=40,-x+8y=68$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+4y=40$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-4y+40$$

Փոխարինեք -4y+40-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+8y=68:

$$-\left(-4y+40\right)+8y=68$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -4y+40:

$$4y-40+8y=68$$

Գումարեք 4y 8y-ին:

$$12y-40=68$$

Գումարեք 40 հավասարման երկու կողմին:

$$12y=108$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12-ի:

$$y=9$$

Փոխարինեք 9-ը y-ով x=-4y+40-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-4\times 9+40$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 9:

$$x=-36+40$$

Գումարեք 40 -36-ին:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+4y=40,-x+8y=68$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{8-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{8-4\left(-1\right)}&\frac{1}{8-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 40-\frac{1}{3}\times 68\\\frac{1}{12}\times 40+\frac{1}{12}\times 68\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=4,y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+4y=40,-x+8y=68$$

x-ը և -x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-x-4y=-40,-x+8y=68$$

Հանեք -x+8y=68 -x-4y=-40-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-x+x-4y-8y=-40-68$$

Գումարեք -x x-ին: -x-ը և x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4y-8y=-40-68$$

Գումարեք -4y -8y-ին:

$$-12y=-40-68$$

Գումարեք -40 -68-ին:

$$-12y=-108$$

Բաժանեք երկու կողմերը -12-ի:

$$y=9$$

Փոխարինեք 9-ը y-ով -x+8y=68-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-x+8\times 9=68$$

Բազմապատկեք 8 անգամ 9:

$$-x+72=68$$

Հանեք 72 հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=9$$