Լուծեք {r}{x+3y=8}{2x+4y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 3 y = 8 } \\ { 2 x + 4 y = 12 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+3y=8,2x+4y=12$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+3y=8$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-3y+8$$

Փոխարինեք -3y+8-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+4y=12:

$$2\left(-3y+8\right)+4y=12$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -3y+8:

$$-6y+16+4y=12$$

Գումարեք -6y 4y-ին:

$$-2y+16=12$$

Հանեք 16 հավասարման երկու կողմից:

$$-2y=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=-3y+8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-3\times 2+8$$

Բազմապատկեք -3 անգամ 2:

$$x=-6+8$$

Գումարեք 8 -6-ին:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+3y=8,2x+4y=12$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&3\\2&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-3\times 2}&-\frac{3}{4-3\times 2}\\-\frac{2}{4-3\times 2}&\frac{1}{4-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{3}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 8+\frac{3}{2}\times 12\\8-\frac{1}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+3y=8,2x+4y=12$$

x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$2x+2\times 3y=2\times 8,2x+4y=12$$

Պարզեցնել:

$$2x+6y=16,2x+4y=12$$

Հանեք 2x+4y=12 2x+6y=16-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x+6y-4y=16-12$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6y-4y=16-12$$

Գումարեք 6y -4y-ին:

$$2y=16-12$$

Գումարեք 16 -12-ին:

$$2y=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով 2x+4y=12-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+4\times 2=12$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 2:

$$2x+8=12$$

Հանեք 8 հավասարման երկու կողմից:

$$2x=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=2$$