Լուծեք {r}{7x+2y=24}{-8x+2y=-30}

$$\left. \begin{array} { r } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { - 8 x + 2 y = - 30 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$7x+2y=24$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$7x=-2y+24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{7} անգամ -2y+24:

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

Փոխարինեք \frac{-2y+24}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -8x+2y=-30:

$$-8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=-30$$

Բազմապատկեք -8 անգամ \frac{-2y+24}{7}:

$$\frac{16}{7}y-\frac{192}{7}+2y=-30$$

Գումարեք \frac{16y}{7} 2y-ին:

$$\frac{30}{7}y-\frac{192}{7}=-30$$

Գումարեք \frac{192}{7} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{30}{7}y=-\frac{18}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{30}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{3}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{3}{5}-ը y-ով x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{7}\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{24}{7}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{7} անգամ -\frac{3}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{6}{35}+\frac{24}{7}$$

Գումարեք \frac{24}{7} \frac{6}{35}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{18}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}&-\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{7\times 2-2\left(-8\right)}&\frac{7}{7\times 2-2\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 24-\frac{1}{15}\left(-30\right)\\\frac{4}{15}\times 24+\frac{7}{30}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Հանեք -8x+2y=-30 7x+2y=24-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$7x+8x+2y-2y=24+30$$

Գումարեք 2y -2y-ին: 2y-ը և -2y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$7x+8x=24+30$$

Գումարեք 7x 8x-ին:

$$15x=24+30$$

Գումարեք 24 30-ին:

$$15x=54$$

Բաժանեք երկու կողմերը 15-ի:

$$x=\frac{18}{5}$$

Փոխարինեք \frac{18}{5}-ը x-ով -8x+2y=-30-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-8\times \frac{18}{5}+2y=-30$$

Բազմապատկեք -8 անգամ \frac{18}{5}:

$$-\frac{144}{5}+2y=-30$$

Գումարեք \frac{144}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$2y=-\frac{6}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=-\frac{3}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$