Լուծեք {r}{5x-7y=7}{2x+3y=26}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x - 7 y = 7 } \\ { 2 x + 3 y = 26 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=7$$

$$y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x-7y=7,2x+3y=26$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x-7y=7$$

Գումարեք 7y հավասարման երկու կողմին:

$$5x=7y+7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(7y+7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 7+7y:

$$x=\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}$$

Փոխարինեք \frac{7+7y}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+3y=26:

$$2\left(\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}\right)+3y=26$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{7+7y}{5}:

$$\frac{14}{5}y+\frac{14}{5}+3y=26$$

Գումարեք \frac{14y}{5} 3y-ին:

$$\frac{29}{5}y+\frac{14}{5}=26$$

Հանեք \frac{14}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{29}{5}y=\frac{116}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{29}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով x=\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{7}{5}\times 4+\frac{7}{5}$$

Բազմապատկեք \frac{7}{5} անգամ 4:

$$x=\frac{28+7}{5}$$

Գումարեք \frac{7}{5} \frac{28}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=7,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x-7y=7,2x+3y=26$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\26\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\26\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\26\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\26\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\26\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\26\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\times 7+\frac{7}{29}\times 26\\-\frac{2}{29}\times 7+\frac{5}{29}\times 26\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=7,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x-7y=7,2x+3y=26$$

5x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$2\times 5x+2\left(-7\right)y=2\times 7,5\times 2x+5\times 3y=5\times 26$$

Պարզեցնել:

$$10x-14y=14,10x+15y=130$$

Հանեք 10x+15y=130 10x-14y=14-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$10x-10x-14y-15y=14-130$$

Գումարեք 10x -10x-ին: 10x-ը և -10x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-14y-15y=14-130$$

Գումարեք -14y -15y-ին:

$$-29y=14-130$$

Գումարեք 14 -130-ին:

$$-29y=-116$$

Բաժանեք երկու կողմերը -29-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով 2x+3y=26-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+3\times 4=26$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 4:

$$2x+12=26$$

Հանեք 12 հավասարման երկու կողմից:

$$2x=14$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=7,y=4$$