Լուծեք {r}{5x+2y=7}{3x-y=13}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x + 2 y = 7 } \\ { 3 x - y = 13 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x+2y=7,3x-y=13$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x+2y=7$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-2y+7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -2y+7:

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}$$

Փոխարինեք \frac{-2y+7}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-y=13:

$$3\left(-\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}\right)-y=13$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{-2y+7}{5}:

$$-\frac{6}{5}y+\frac{21}{5}-y=13$$

Գումարեք -\frac{6y}{5} -y-ին:

$$-\frac{11}{5}y+\frac{21}{5}=13$$

Հանեք \frac{21}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{11}{5}y=\frac{44}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{11}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով x=-\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{5}\left(-4\right)+\frac{7}{5}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{5} անգամ -4:

$$x=\frac{8+7}{5}$$

Գումարեք \frac{7}{5} \frac{8}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x+2y=7,3x-y=13$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&2\\3&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-2\times 3}&-\frac{2}{5\left(-1\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-1\right)-2\times 3}&\frac{5}{5\left(-1\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 7+\frac{2}{11}\times 13\\\frac{3}{11}\times 7-\frac{5}{11}\times 13\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x+2y=7,3x-y=13$$

5x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$3\times 5x+3\times 2y=3\times 7,5\times 3x+5\left(-1\right)y=5\times 13$$

Պարզեցնել:

$$15x+6y=21,15x-5y=65$$

Հանեք 15x-5y=65 15x+6y=21-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$15x-15x+6y+5y=21-65$$

Գումարեք 15x -15x-ին: 15x-ը և -15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6y+5y=21-65$$

Գումարեք 6y 5y-ին:

$$11y=21-65$$

Գումարեք 21 -65-ին:

$$11y=-44$$

Բաժանեք երկու կողմերը 11-ի:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով 3x-y=13-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-\left(-4\right)=13$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$3x=9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=-4$$