Լուծեք {r}{5x+2y=1}{-3x+3y=5}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x + 2 y = 1 } \\ { - 3 x + 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x+2y=1,-3x+3y=5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x+2y=1$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-2y+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -2y+1:

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Փոխարինեք \frac{-2y+1}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -3x+3y=5:

$$-3\left(-\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+3y=5$$

Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{-2y+1}{5}:

$$\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}+3y=5$$

Գումարեք \frac{6y}{5} 3y-ին:

$$\frac{21}{5}y-\frac{3}{5}=5$$

Գումարեք \frac{3}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{21}{5}y=\frac{28}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{21}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{4}{3}$$

Փոխարինեք \frac{4}{3}-ը y-ով x=-\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{4}{3}+\frac{1}{5}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{5} անգամ \frac{4}{3}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{8}{15}+\frac{1}{5}$$

Գումարեք \frac{1}{5} -\frac{8}{15}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{1}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{4}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x+2y=1,-3x+3y=5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{5\times 3-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 3-2\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 3-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{21}\\\frac{1}{7}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}-\frac{2}{21}\times 5\\\frac{1}{7}+\frac{5}{21}\times 5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{4}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x+2y=1,-3x+3y=5$$

5x-ը և -3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$-3\times 5x-3\times 2y=-3,5\left(-3\right)x+5\times 3y=5\times 5$$

Պարզեցնել:

$$-15x-6y=-3,-15x+15y=25$$

Հանեք -15x+15y=25 -15x-6y=-3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-15x+15x-6y-15y=-3-25$$

Գումարեք -15x 15x-ին: -15x-ը և 15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-6y-15y=-3-25$$

Գումարեք -6y -15y-ին:

$$-21y=-3-25$$

Գումարեք -3 -25-ին:

$$-21y=-28$$

Բաժանեք երկու կողմերը -21-ի:

$$y=\frac{4}{3}$$

Փոխարինեք \frac{4}{3}-ը y-ով -3x+3y=5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-3x+3\times \frac{4}{3}=5$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{4}{3}:

$$-3x+4=5$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$-3x=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=-\frac{1}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{4}{3}$$