Լուծեք {r}{32x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 32 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{40}{11} = -3\frac{7}{11} \approx -3.636363636$$

$$y = \frac{445}{11} = 40\frac{5}{11} \approx 40.454545455$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$32x+3y=5$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$32x=-3y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 32-ի:

$$x=\frac{1}{32}\left(-3y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{32} անգամ -3y+5:

$$x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}$$

Փոխարինեք \frac{-3y+5}{32}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+2y=70:

$$3\left(-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}\right)+2y=70$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{-3y+5}{32}:

$$-\frac{9}{32}y+\frac{15}{32}+2y=70$$

Գումարեք -\frac{9y}{32} 2y-ին:

$$\frac{55}{32}y+\frac{15}{32}=70$$

Հանեք \frac{15}{32} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{55}{32}y=\frac{2225}{32}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{55}{32}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{445}{11}$$

Փոխարինեք \frac{445}{11}-ը y-ով x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{32}\times \frac{445}{11}+\frac{5}{32}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{32} անգամ \frac{445}{11}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{1335}{352}+\frac{5}{32}$$

Գումարեք \frac{5}{32} -\frac{1335}{352}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{40}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{32\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}&\frac{32}{32\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}&-\frac{3}{55}\\-\frac{3}{55}&\frac{32}{55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}\times 5-\frac{3}{55}\times 70\\-\frac{3}{55}\times 5+\frac{32}{55}\times 70\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{11}\\\frac{445}{11}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

32x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 32-ով:

$$3\times 32x+3\times 3y=3\times 5,32\times 3x+32\times 2y=32\times 70$$

Պարզեցնել:

$$96x+9y=15,96x+64y=2240$$

Հանեք 96x+64y=2240 96x+9y=15-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$96x-96x+9y-64y=15-2240$$

Գումարեք 96x -96x-ին: 96x-ը և -96x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$9y-64y=15-2240$$

Գումարեք 9y -64y-ին:

$$-55y=15-2240$$

Գումարեք 15 -2240-ին:

$$-55y=-2225$$

Բաժանեք երկու կողմերը -55-ի:

$$y=\frac{445}{11}$$

Փոխարինեք \frac{445}{11}-ը y-ով 3x+2y=70-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+2\times \frac{445}{11}=70$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{445}{11}:

$$3x+\frac{890}{11}=70$$

Հանեք \frac{890}{11} հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-\frac{120}{11}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=-\frac{40}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$