Լուծեք {r}{22x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 22 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{40}{7} = -5\frac{5}{7} \approx -5.714285714$$

$$y = \frac{305}{7} = 43\frac{4}{7} \approx 43.571428571$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$22x+3y=5$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$22x=-3y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 22-ի:

$$x=\frac{1}{22}\left(-3y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{22} անգամ -3y+5:

$$x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}$$

Փոխարինեք \frac{-3y+5}{22}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+2y=70:

$$3\left(-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}\right)+2y=70$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{-3y+5}{22}:

$$-\frac{9}{22}y+\frac{15}{22}+2y=70$$

Գումարեք -\frac{9y}{22} 2y-ին:

$$\frac{35}{22}y+\frac{15}{22}=70$$

Հանեք \frac{15}{22} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{35}{22}y=\frac{1525}{22}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{35}{22}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{305}{7}$$

Փոխարինեք \frac{305}{7}-ը y-ով x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{22}\times \frac{305}{7}+\frac{5}{22}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{22} անգամ \frac{305}{7}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{915}{154}+\frac{5}{22}$$

Գումարեք \frac{5}{22} -\frac{915}{154}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{40}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{22\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}&\frac{22}{22\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}&-\frac{3}{35}\\-\frac{3}{35}&\frac{22}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}\times 5-\frac{3}{35}\times 70\\-\frac{3}{35}\times 5+\frac{22}{35}\times 70\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{7}\\\frac{305}{7}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

22x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 22-ով:

$$3\times 22x+3\times 3y=3\times 5,22\times 3x+22\times 2y=22\times 70$$

Պարզեցնել:

$$66x+9y=15,66x+44y=1540$$

Հանեք 66x+44y=1540 66x+9y=15-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$66x-66x+9y-44y=15-1540$$

Գումարեք 66x -66x-ին: 66x-ը և -66x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$9y-44y=15-1540$$

Գումարեք 9y -44y-ին:

$$-35y=15-1540$$

Գումարեք 15 -1540-ին:

$$-35y=-1525$$

Բաժանեք երկու կողմերը -35-ի:

$$y=\frac{305}{7}$$

Փոխարինեք \frac{305}{7}-ը y-ով 3x+2y=70-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+2\times \frac{305}{7}=70$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{305}{7}:

$$3x+\frac{610}{7}=70$$

Հանեք \frac{610}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-\frac{120}{7}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=-\frac{40}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$