Լուծեք {r}{2x+3y=7}{5x+2y=1}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 7 } \\ { 5 x + 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=7$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y+7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y+7:

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-3y+7}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+2y=1:

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}\right)+2y=1$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{-3y+7}{2}:

$$-\frac{15}{2}y+\frac{35}{2}+2y=1$$

Գումարեք -\frac{15y}{2} 2y-ին:

$$-\frac{11}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

Հանեք \frac{35}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{33}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{11}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ 3:

$$x=\frac{-9+7}{2}$$

Գումարեք \frac{7}{2} -\frac{9}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 2-3\times 5}&\frac{2}{2\times 2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\times 7+\frac{3}{11}\\\frac{5}{11}\times 7-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

2x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 7,2\times 5x+2\times 2y=2$$

Պարզեցնել:

$$10x+15y=35,10x+4y=2$$

Հանեք 10x+4y=2 10x+15y=35-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$10x-10x+15y-4y=35-2$$

Գումարեք 10x -10x-ին: 10x-ը և -10x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$15y-4y=35-2$$

Գումարեք 15y -4y-ին:

$$11y=35-2$$

Գումարեք 35 -2-ին:

$$11y=33$$

Բաժանեք երկու կողմերը 11-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով 5x+2y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x+2\times 3=1$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 3:

$$5x+6=1$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=3$$