Լուծեք {r}{12x+3y=5}{3x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { r } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{11}{15}\approx -0.733333333$$

$$y = \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5} = 4.6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$12x+3y=5$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$12x=-3y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12-ի:

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{12} անգամ -3y+5:

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

Փոխարինեք -\frac{y}{4}+\frac{5}{12}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+2y=7:

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=7$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{y}{4}+\frac{5}{12}:

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=7$$

Գումարեք -\frac{3y}{4} 2y-ին:

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

Հանեք \frac{5}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{5}{4}y=\frac{23}{4}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{5}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{23}{5}$$

Փոխարինեք \frac{23}{5}-ը y-ով x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{23}{5}+\frac{5}{12}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{4} անգամ \frac{23}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{23}{20}+\frac{5}{12}$$

Գումարեք \frac{5}{12} -\frac{23}{20}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{11}{15}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\\\frac{23}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

12x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 12-ով:

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 7$$

Պարզեցնել:

$$36x+9y=15,36x+24y=84$$

Հանեք 36x+24y=84 36x+9y=15-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$36x-36x+9y-24y=15-84$$

Գումարեք 36x -36x-ին: 36x-ը և -36x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$9y-24y=15-84$$

Գումարեք 9y -24y-ին:

$$-15y=15-84$$

Գումարեք 15 -84-ին:

$$-15y=-69$$

Բաժանեք երկու կողմերը -15-ի:

$$y=\frac{23}{5}$$

Փոխարինեք \frac{23}{5}-ը y-ով 3x+2y=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+2\times \frac{23}{5}=7$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{23}{5}:

$$3x+\frac{46}{5}=7$$

Հանեք \frac{46}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-\frac{11}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=-\frac{11}{15}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$