Լուծեք {r}{-v+2d=-10}{d+3v=9}

$$\left. \begin{array} { r } { - v + 2 d = - 10 } \\ { d + 3 v = 9 } \end{array} \right.$$

Լուծել v, d-ի համար

$$v=4$$

$$d=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-v+2d=-10,3v+d=9$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն v-ի համար՝ առանձնացնելով v-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-v+2d=-10$$

Հանեք 2d հավասարման երկու կողմից:

$$-v=-2d-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$v=-\left(-2d-10\right)$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -2d-10:

$$v=2d+10$$

Փոխարինեք 10+2d-ը v-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3v+d=9:

$$3\left(2d+10\right)+d=9$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 10+2d:

$$6d+30+d=9$$

Գումարեք 6d d-ին:

$$7d+30=9$$

Հանեք 30 հավասարման երկու կողմից:

$$7d=-21$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$d=-3$$

Փոխարինեք -3-ը d-ով v=2d+10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես v-ի համար:

$$v=2\left(-3\right)+10$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -3:

$$v=-6+10$$

Գումարեք 10 -6-ին:

$$v=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$v=4,d=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-v+2d=-10,3v+d=9$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&-\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-10\right)+\frac{2}{7}\times 9\\\frac{3}{7}\left(-10\right)+\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի v և d տարրերը:

$$v=4,d=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-v+2d=-10,3v+d=9$$

-v-ը և 3v-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -1-ով:

$$3\left(-1\right)v+3\times 2d=3\left(-10\right),-3v-d=-9$$

Պարզեցնել:

$$-3v+6d=-30,-3v-d=-9$$

Հանեք -3v-d=-9 -3v+6d=-30-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-3v+3v+6d+d=-30+9$$

Գումարեք -3v 3v-ին: -3v-ը և 3v-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6d+d=-30+9$$

Գումարեք 6d d-ին:

$$7d=-30+9$$

Գումարեք -30 9-ին:

$$7d=-21$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$d=-3$$

Փոխարինեք -3-ը d-ով 3v+d=9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես v-ի համար:

$$3v-3=9$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$3v=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$v=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$v=4,d=-3$$