Լուծեք {r}{-7x+2y=-39}{9x-5y=55}

$$\left. \begin{array} { r } { - 7 x + 2 y = - 39 } \\ { 9 x - 5 y = 55 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=5$$

$$y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-7x+2y=-39$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$-7x=-2y-39$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2y-39\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{7} անգամ -2y-39:

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}$$

Փոխարինեք \frac{2y+39}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 9x-5y=55:

$$9\left(\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}\right)-5y=55$$

Բազմապատկեք 9 անգամ \frac{2y+39}{7}:

$$\frac{18}{7}y+\frac{351}{7}-5y=55$$

Գումարեք \frac{18y}{7} -5y-ին:

$$-\frac{17}{7}y+\frac{351}{7}=55$$

Հանեք \frac{351}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{17}{7}y=\frac{34}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{17}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով x=\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{39}{7}$$

Բազմապատկեք \frac{2}{7} անգամ -2:

$$x=\frac{-4+39}{7}$$

Գումարեք \frac{39}{7} -\frac{4}{7}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-7\left(-5\right)-2\times 9}&-\frac{2}{-7\left(-5\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{-7\left(-5\right)-2\times 9}&-\frac{7}{-7\left(-5\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{17}&-\frac{2}{17}\\-\frac{9}{17}&-\frac{7}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{17}\left(-39\right)-\frac{2}{17}\times 55\\-\frac{9}{17}\left(-39\right)-\frac{7}{17}\times 55\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=5,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

-7x-ը և 9x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 9-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -7-ով:

$$9\left(-7\right)x+9\times 2y=9\left(-39\right),-7\times 9x-7\left(-5\right)y=-7\times 55$$

Պարզեցնել:

$$-63x+18y=-351,-63x+35y=-385$$

Հանեք -63x+35y=-385 -63x+18y=-351-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-63x+63x+18y-35y=-351+385$$

Գումարեք -63x 63x-ին: -63x-ը և 63x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$18y-35y=-351+385$$

Գումարեք 18y -35y-ին:

$$-17y=-351+385$$

Գումարեք -351 385-ին:

$$-17y=34$$

Բաժանեք երկու կողմերը -17-ի:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով 9x-5y=55-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$9x-5\left(-2\right)=55$$

Բազմապատկեք -5 անգամ -2:

$$9x+10=55$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$9x=45$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=-2$$