Լուծեք {r}{2(x+1)/3-y=-3}{3(x+5-y)+3x=12}

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { 2 ( x + 1 ) } { 3 } - y = - 3 } \\ { 3 ( x + 5 - y ) + 3 x = 12 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2$$

$$y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2-3y=-9$$

Հանեք 2 երկու կողմերից:

$$2x-3y=-9-2$$

Հանեք 2 -9-ից և ստացեք -11:

$$2x-3y=-11$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+5-y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+15-3y+3x=12$$

Համակցեք 3x և 3x և ստացեք 6x:

$$6x+15-3y=12$$

Հանեք 15 երկու կողմերից:

$$6x-3y=12-15$$

Հանեք 15 12-ից և ստացեք -3:

$$6x-3y=-3$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-3y=-11$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=3y-11$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-11\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 3y-11:

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}$$

Փոխարինեք \frac{3y-11}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6x-3y=-3:

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}\right)-3y=-3$$

Բազմապատկեք 6 անգամ \frac{3y-11}{2}:

$$9y-33-3y=-3$$

Գումարեք 9y -3y-ին:

$$6y-33=-3$$

Գումարեք 33 հավասարման երկու կողմին:

$$6y=30$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{2}\times 5-\frac{11}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ 5:

$$x=\frac{15-11}{2}$$

Գումարեք -\frac{11}{2} \frac{15}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2-3y=-9$$

Հանեք 2 երկու կողմերից:

$$2x-3y=-9-2$$

Հանեք 2 -9-ից և ստացեք -11:

$$2x-3y=-11$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+5-y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+15-3y+3x=12$$

Համակցեք 3x և 3x և ստացեք 6x:

$$6x+15-3y=12$$

Հանեք 15 երկու կողմերից:

$$6x-3y=12-15$$

Հանեք 15 12-ից և ստացեք -3:

$$6x-3y=-3$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-11\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-\frac{1}{2}\left(-11\right)+\frac{1}{6}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 3-ով:

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2-3y=-9$$

Հանեք 2 երկու կողմերից:

$$2x-3y=-9-2$$

Հանեք 2 -9-ից և ստացեք -11:

$$2x-3y=-11$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+5-y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+15-3y+3x=12$$

Համակցեք 3x և 3x և ստացեք 6x:

$$6x+15-3y=12$$

Հանեք 15 երկու կողմերից:

$$6x-3y=12-15$$

Հանեք 15 12-ից և ստացեք -3:

$$6x-3y=-3$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Հանեք 6x-3y=-3 2x-3y=-11-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-6x-3y+3y=-11+3$$

Գումարեք -3y 3y-ին: -3y-ը և 3y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2x-6x=-11+3$$

Գումարեք 2x -6x-ին:

$$-4x=-11+3$$

Գումարեք -11 3-ին:

$$-4x=-8$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=2$$

Փոխարինեք 2-ը x-ով 6x-3y=-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$6\times 2-3y=-3$$

Բազմապատկեք 6 անգամ 2:

$$12-3y=-3$$

Հանեք 12 հավասարման երկու կողմից:

$$-3y=-15$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$y=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=5$$