Լուծեք {l}{y=x+1}{y=3x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 1 } \\ { y = 3 x + 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=1$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$y-3x=2$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-x=1,y-3x=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-x=1$$

Գումարեք x հավասարման երկու կողմին:

$$y=x+1$$

Փոխարինեք x+1-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y-3x=2:

$$x+1-3x=2$$

Գումարեք x -3x-ին:

$$-2x+1=2$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{2}-ը x-ով y=x+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

Գումարեք 1 -\frac{1}{2}-ին:

$$y=\frac{1}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=1$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$y-3x=2$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-x=1,y-3x=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-1\right)}&\frac{1}{-3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=1$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$y-3x=2$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-x=1,y-3x=2$$

Հանեք y-3x=2 y-x=1-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y-x+3x=1-2$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-x+3x=1-2$$

Գումարեք -x 3x-ին:

$$2x=1-2$$

Գումարեք 1 -2-ին:

$$2x=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=-\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{2}-ը x-ով y-3x=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y-3\left(-\frac{1}{2}\right)=2$$

Բազմապատկեք -3 անգամ -\frac{1}{2}:

$$y+\frac{3}{2}=2$$

Հանեք \frac{3}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$y=\frac{1}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2}$$