Լուծեք {l}{y=5x-3}{y=-2x+11}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 5 x - 3 } \\ { y = - 2 x + 11 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=2$$

$$y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 5x երկու կողմերից:

$$y-5x=-3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$y+2x=11$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-5x=-3,y+2x=11$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-5x=-3$$

Գումարեք 5x հավասարման երկու կողմին:

$$y=5x-3$$

Փոխարինեք 5x-3-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y+2x=11:

$$5x-3+2x=11$$

Գումարեք 5x 2x-ին:

$$7x-3=11$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$7x=14$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=2$$

Փոխարինեք 2-ը x-ով y=5x-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=5\times 2-3$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 2:

$$y=10-3$$

Գումարեք -3 10-ին:

$$y=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=7,x=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 5x երկու կողմերից:

$$y-5x=-3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$y+2x=11$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-5x=-3,y+2x=11$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\11\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-5\right)}&\frac{1}{2-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\11\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-3\right)+\frac{5}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-3\right)+\frac{1}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=7,x=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 5x երկու կողմերից:

$$y-5x=-3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 2x-ը երկու կողմերում:

$$y+2x=11$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-5x=-3,y+2x=11$$

Հանեք y+2x=11 y-5x=-3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y-5x-2x=-3-11$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-5x-2x=-3-11$$

Գումարեք -5x -2x-ին:

$$-7x=-3-11$$

Գումարեք -3 -11-ին:

$$-7x=-14$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$x=2$$

Փոխարինեք 2-ը x-ով y+2x=11-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y+2\times 2=11$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2:

$$y+4=11$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$y=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=7,x=2$$