Լուծեք {l}{y=4x-9}{y=x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 9 } \\ { y = x - 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=2$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$y-4x=-9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=-3$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-4x=-9,y-x=-3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-4x=-9$$

Գումարեք 4x հավասարման երկու կողմին:

$$y=4x-9$$

Փոխարինեք 4x-9-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y-x=-3:

$$4x-9-x=-3$$

Գումարեք 4x -x-ին:

$$3x-9=-3$$

Գումարեք 9 հավասարման երկու կողմին:

$$3x=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=2$$

Փոխարինեք 2-ը x-ով y=4x-9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=4\times 2-9$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 2:

$$y=8-9$$

Գումարեք -9 8-ին:

$$y=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-1,x=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$y-4x=-9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=-3$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-4x=-9,y-x=-3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-9\right)+\frac{4}{3}\left(-3\right)\\-\frac{1}{3}\left(-9\right)+\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-1,x=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$y-4x=-9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=-3$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-4x=-9,y-x=-3$$

Հանեք y-x=-3 y-4x=-9-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y-4x+x=-9+3$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4x+x=-9+3$$

Գումարեք -4x x-ին:

$$-3x=-9+3$$

Գումարեք -9 3-ին:

$$-3x=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=2$$

Փոխարինեք 2-ը x-ով y-x=-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y-2=-3$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$y=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-1,x=2$$