Լուծեք {l}{y=4x-2}{y=-x+18}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 2 } \\ { y = - x + 18 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=4$$

$$y=14$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$y-4x=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել x-ը երկու կողմերում:

$$y+x=18$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-4x=-2,y+x=18$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-4x=-2$$

Գումարեք 4x հավասարման երկու կողմին:

$$y=4x-2$$

Փոխարինեք 4x-2-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y+x=18:

$$4x-2+x=18$$

Գումարեք 4x x-ին:

$$5x-2=18$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$5x=20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=4$$

Փոխարինեք 4-ը x-ով y=4x-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=4\times 4-2$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 4:

$$y=16-2$$

Գումարեք -2 16-ին:

$$y=14$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=14,x=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$y-4x=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել x-ը երկու կողմերում:

$$y+x=18$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-4x=-2,y+x=18$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{1-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-4\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{4}{5}\times 18\\-\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{1}{5}\times 18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=14,x=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$y-4x=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել x-ը երկու կողմերում:

$$y+x=18$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-4x=-2,y+x=18$$

Հանեք y+x=18 y-4x=-2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y-4x-x=-2-18$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4x-x=-2-18$$

Գումարեք -4x -x-ին:

$$-5x=-2-18$$

Գումարեք -2 -18-ին:

$$-5x=-20$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$x=4$$

Փոխարինեք 4-ը x-ով y+x=18-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y+4=18$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$y=14$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=14,x=4$$