Լուծեք {l}{y=4x-2}{y=1/4x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 2 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=0$$

$$y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$y-4x=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{1}{4}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{4}x=-2$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-4x=-2,y-\frac{1}{4}x=-2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-4x=-2$$

Գումարեք 4x հավասարման երկու կողմին:

$$y=4x-2$$

Փոխարինեք 4x-2-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y-\frac{1}{4}x=-2:

$$4x-2-\frac{1}{4}x=-2$$

Գումարեք 4x -\frac{x}{4}-ին:

$$\frac{15}{4}x-2=-2$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{15}{4}x=0$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{15}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=0$$

Փոխարինեք 0-ը x-ով y=4x-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-2,x=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$y-4x=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{1}{4}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{4}x=-2$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-4x=-2,y-\frac{1}{4}x=-2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{4}-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-\frac{1}{4}-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{4}-\left(-4\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{4}-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{16}{15}\\-\frac{4}{15}&\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-2\right)+\frac{16}{15}\left(-2\right)\\-\frac{4}{15}\left(-2\right)+\frac{4}{15}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-2,x=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$y-4x=-2$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{1}{4}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{4}x=-2$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-4x=-2,y-\frac{1}{4}x=-2$$

Հանեք y-\frac{1}{4}x=-2 y-4x=-2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$y-y-4x+\frac{1}{4}x=-2+2$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4x+\frac{1}{4}x=-2+2$$

Գումարեք -4x \frac{x}{4}-ին:

$$-\frac{15}{4}x=-2+2$$

Գումարեք -2 2-ին:

$$-\frac{15}{4}x=0$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{15}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=0$$

Փոխարինեք 0-ը x-ով y-\frac{1}{4}x=-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-2,x=0$$